Global structure of solutions for differential equations of singular perturbation type and exact WKB analysis

奇异摄动型微分方程解的全局结构及精确WKB分析

• 批准号: 19H01794
• 负责人: 竹井 義次
• 金额: $ 5.57万
• 依托单位: Doshisha University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
• 财政年份: 2019
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2019-04-01 至 2024-03-31
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-19H01794/
• 关键词: 微分方程式; 差分方程式; 完全WKB解析; 超幾何方程式; パンルヴェ方程式; ホロノミック系; 非遺伝性変わり点; ベッセル関数; 時間依存シュレディンガー方程式; 確率微分方程式; ファインマン・カッツの定理; ストークス幾何; 仮想的変わり点; ボロス係数; リッカチ方程式; インスタントン解; ボレル総和法

昨年度に引き続き、新型コロナウイルス感染症の影響で外国出張が難しく、海外の研究協力者との研究連絡に支障が生じ研究計画の達成に遅れが生じた。こうした困難な状況の中、以下のような研究成果が得られた。昨年度から開始した差分方程式に対する完全WKB解析については、大学院生の伊藤駿君が、私の指導の下に、積分表示式を利用してベッセル関数の満たす差分方程式の完全WKB解析的な構造を調べた。その結果、ベッセルの差分方程式のWKB解やストークス幾何、接続公式等の構造が明らかになると共に、ストークス曲線の交点から無限本の新しいストークス曲線が現れることが見出された。さらに、竹井優美子氏（茨城高専）との共同研究では、こうした差分方程式に対する完全WKB解析が一般のホロノミック系に対する完全WKB解析の一般論にどの程度有効であるかを検証するべく、ガウスの超幾何関数とその合流型の積分表示式に対して、差分方程式の完全WKB解析の視点から隣接関係式も含めて新たな考察を加えた。一方、大学院生の山下恭平君との共同研究では、時間依存シュレディンガー方程式に対する初期値問題のWKB型の形式解と確率微分方程式の解のファインマン・カッツの定理を介した対応関係をより数学的な立場から論じ、複素熱方程式の場合と確率微分方程式がランジュバン方程式となる場合に、この対応関係が漸近展開の意味で成立することを示すことに成功した。なお、廣瀬三平氏、佐々木真二氏（共に芝浦工大）、河合隆裕氏（京大）とのホロノミック系の完全WKB解析に関する共同研究については、スプリンガー社から刊行予定の共著書の執筆に取りかかった。その中で、非遺伝性の二重変わり点に由来する微分方程式の新たな周期の構造や、それが引き起こすストークス現象に関する知見を整理することができた。来年度は、この共著書の執筆を本格化させる予定である。

Last year, the impact of new infections on foreign countries, research collaborators and research contacts abroad, and the achievement of research projects were all difficult. The results of this study were obtained in the middle of the difficult situation and below. The difference equation of complete WKB analysis was adjusted by using the integral expression under the guidance of Junjun Ito, a college student. The result, WKB solution of difference equation, geometry, connection formula, etc. are shown in the following way. In the joint research of Yukiko Takei (Takashi Ibaraki), the complete WKB analysis of the difference equation is related to the general theory of the complete WKB analysis. The degree of proof of the integral expression of the convergence type of the hypergeometric relationship is related to the complete WKB analysis of the difference equation. The viewpoint of the adjacent relationship is included in the investigation. A joint study by Yasuhiro Yamashita, a university student, on the formal solution of the initial value problem of the WKB type, the solution of the differential equation of the exact rate, the theorem of the differential equation of the exact rate, the relationship between the mathematical position, the theory of the complex thermal equation, the case of the differential equation of the exact rate, the case of the differential equation of the exact rate, and the case of the differential equation of the exact rate. The asymptotic expansion of the relation is true. The author of the book published by the author. The structure of the new period of the differential equation and the related knowledge of the phenomenon of the non-linear differential equation are discussed. In the coming year, the author of the book will be selected.

项目成果

Riccati Equations Revisited: Linearization and Analytic Interpretation of Instanton-Type Solutions

重温 Riccati 方程：瞬子型解的线性化和解析解释

• DOI: 10.1007/s11785-020-01033-y
• 发表时间: 2020
• 期刊: Complex Analysis and Operator Theory
• 影响因子: 0.8
• 作者: Hirose Sampei;Kawai Takahiro;Sasaki Shinji;Takei Yoshitsugu;Takei Yoshitsugu
• 通讯作者: Takei Yoshitsugu

On the instanton-type expansions for Painleve transcendents and elliptic functions

关于 Painleve 超越函数和椭圆函数的瞬时型展开

• DOI: 10.1515/9783110611427-014
• 发表时间: 2019
• 期刊: Complex Differential and Difference Equations (De Gruyter Proceedings in Mathematics)
• 作者: Hirose Sampei;Kawai Takahiro;Sasaki Shinji;Takei Yoshitsugu;Takei Yoshitsugu;Takei Yoshitsugu
• 通讯作者: Takei Yoshitsugu

On crossing phenomenon of three ordinary Stokes curves for third-order ordinary differential equations

三阶常微分方程的三条常斯托克斯曲线的交叉现象

• 发表时间: 2019
• 作者: Sampei Hirose;Takahiro Kawai and Yoshitsugu Takei
• 通讯作者: Takahiro Kawai and Yoshitsugu Takei

On the instanton-type formal solutions of Painleve equations

关于Painleve方程的瞬子型形式解

• 发表时间: 2021
• 作者: Hirose Sampei;Kawai Takahiro;Sasaki Shinji;Takei Yoshitsugu;Takei Yoshitsugu;Takei Yoshitsugu;Yoshitsugu Takei;Yoshitsugu Takei
• 通讯作者: Yoshitsugu Takei

Complex Differential and Difference Equations (De Gruyter Proceedings in Mathematics)

复微分方程和差分方程（德格鲁特数学报）

• 发表时间: 2019
• 作者: Galina Filipuk;Alberto Lastra;Slawomir Michalik;Yoshitsugu Takei and Henryk Zoladek (eds.)
• 通讯作者: Yoshitsugu Takei and Henryk Zoladek (eds.)