微分方程式の大域構造とWKB解析

微分方程的全局结构和 WKB 分析

• 批准号: 09740101
• 负责人: 竹井 義次
• 金额: $ 1.28万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1997
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1997 至 1998
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-09740101/
• 关键词: WKB解析; Painleve方程式; 接続公式; Stokes曲線

昨年度に引続き、Painleve方程式(P_J)(J=I,...,VI)に対する完全WKB解析を考察した。昨年度の研究により明らかになったように、(P_J)(J=III,V,VI)については単純確定特異点を起点とする新しい種類のStokes曲線が存在する。本年度はまず、モノドロミー保存変形を通じて(P_J)に付随している線型方程式を解析することにより、この新種のStokes曲線における接続公式の主要項を決定した。既に得られていた(P_I)を標準形とする単純変わり点から出るStokes曲線における接続公式と合わせ、(P_J)に対する完全WKB解析の枠組はこれでほぼ完成したと考えられる。そこで次に、この完全WKB解析をPainleve方程式の具体的な大域的問題に応用することを試みた。具体的な問題として(P_<ii>)のある接続問題を取り上げたところ、従来Ablowitz-Segur.の結果として知られていたものと完全に一致する.結果が得られることが確かめられた。即ち、(P_<II>)の接続問題が(P_I)の接続公式を繰り返し使うことで解けるのである。これはPainleve方程式の大域的な問題に対する完全WKB解析の有効性を端的に示す結果であると言えよう。しかし、例えばモノドロミー群やStokes係数の具体的計算を実行する為には、我々の用いている形式解の解析的な意味づけを明らかにし、更に現時点ではある代数函数のRiemann面の上でのみ定義されているstokes曲線とそこでの接続公式を、何らかの意味で底空間に“射影"しなければならない。こうした問題への解答のヒントを得る為に、Painleve方程式より簡単と考えられる3階の線型方程式に対応する2階非線型方程式の完全WKB解析の解明に、河合隆裕氏や青木貴史氏と共同で現在取り組んでいる。いくつかの具体例について大域的な構造が明らかになりつつある段階である。

Painleve equation (P_J)(J=I,..., VI) Complete WKB analysis The Stokes curve of the new type exists in the study of the last year. This year, the main terms of the Stokes curve equation for the new species were determined. A complete WKB analysis is performed on the basis of the formula (P_J) and the formula (P_I). This is the second time that the complete WKB analysis of Painleve equations and specific large-domain problems are used. The concrete problem and (P_<ii>) and the connection problem are selected from the upper part and the lower part. The results are completely consistent. As a result, he was able to get the right answer. That is to say, the problem of (P_<II>) and (P_I) is solved by the formula of (P_I). This is the result of a complete WKB analysis of the Painleve equation in a large domain. For example, the specific calculation of Stokes coefficients of algebraic functions is carried out in the form of analytic solutions, and the definition of algebraic functions on the Riemann surface of algebraic functions is defined in the stokes curve. The solution of this problem is obtained from the Painleve equation, which is a simple linear equation of order 3 and a complete WKB solution of a nonlinear equation of order 2. The solution is obtained from the Kawai Takashi equation and the Aoki Takashi equation. For example, the structure of a large domain is clearly defined.

项目成果

竹井 義次(青木貴史,河合隆裕との共著): "On the exact WKB analysis for the third order ordinary differential equations with a large parameter." Asian Journal of Mathematics. 掲載予定.

Yoshitsugu Takei（与 Takashi Aoki 和 Takahiro Kawai 合著者）：“关于大参数三阶常微分方程的精确 WKB 分析”，《亚洲数学杂志》即将发表。

竹井 義次: "On a WKB-theoretic approach to the Painleve transcendents.II." 京都大学 数理解析研究所講究録. 1058. 114-128 (1998)

Yoshitsugu Takei：“关于 Painleve 超越数的 WKB 理论方法。II”京都大学数学科学研究所 Kokyuroku。1058. 114-128 (1998)

竹井 義次(河合 隆裕との共著): "WKB analysis of Painleve transcendents with a large parameter,III." Advances in Mathematics. (掲載予定).

Yoshitsugu Takei（与 Takahiro Kawai 合着）：“带有大参数的 Painlevel 超越的 WKB 分析，III。数学进展”。

竹井 義次(河合 隆裕との共著): "特異摂動の代数解析学" 岩波書店(岩波講座「現代数学の展開」)(1998年刊行予定),

武井义嗣（与河合贵宏合着）：《奇异扰动的代数分析》岩波书店（岩波课程《现代数学的发展》）（预定于1998年出版），

竹井 義次(河合隆裕との共著): "WKB analysis of Painleve transcendents with a large parameter.III." Advances in Mathematics. 134-1. 178-218 (1998)

Yoshitsugu Takei（与 Takahiro Kawai 合着）：“具有大参数的 Painlevel 超越项的 WKB 分析。III。数学进展 134-1（1998）。”