特異摂動とWKB解析

奇异扰动和 WKB 分析

• 批准号: 08740101
• 负责人: 竹井 義次
• 金额: $ 0.64万
• 依托单位: Kyoto University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Encouragement of Young Scientists (A)
• 财政年份: 1996
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 1996 至 无数据
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/grant/KAKENHI-PROJECT-08740101/
• 关键词: Painleve方程式; WKB解析; モノドロミ-保存変形; 接続公式; Stokes係数

「Painleve方程式(P_J)(J=I,...,VI)に対する完全WKB解析」の基礎理論を確立すべく、本研究では、多重スケール解析を用いて構成される2つの自由パラメータを含む(P_J)の形式解の構造を解析した。得られた結果は次の2つである。(なお、完全WKB解析の世界的な中心地の一つであるフランスのニ-ス大学において、これらの成果を発表した。)(i)「単純変わり点の近傍においては、自由パラメータを含む(P_J)(J=II,...,VI)の任意の形式解が(P_I)の形式解に変換される」ことを示した。(ii)(P_I)に付随する線型方程式(SL_I)のStokes係数を具体的に書き下すことに成功した。(SL_I)のモノドロミ-保存変形を記述する方程式が(P_I)であるという事実を考慮すれば、第2の結果は(P_I)に対する接続公式の具体形がほぼ決定されたことを意味しており、第1の結果と組み合わせれば、単純変わり点における任意の(P_J)に対する接続公式が原理的には得られたことになる。これらの結果の証明においては、(P_J)に付随する線型方程式(SL_J)を単独で扱うのではなく、変形方程式(D_J)とを連立させた線型方程式系(その両立条件が(P_J)に他ならない)を考えるという視点が重要である。この意味で、(まだ特殊例を論じたに過ぎないけれども、)この成果は、完全WKB解析の連立方程式系への一般化の可能性を示唆するものとも考えられよう。しかし、上記の結果は未だ形式的なレベルに留まっており、多重スケール解析を用いて構成された(P_J)の形式解それ自身も含や、その真の解析的な意味を明らかにすることは今後の課題である。

为了建立“ Painleve方程（P_J）的完整WKB分析（J = I，...，VI）”的基本理论，这项研究分析了包含使用多规模分析构建的两个免费参数的正式解决方案（P_J）的结构。获得的结果是以下两个：（此外，这些结果是在法国的Nisse大学提出的，这是全球完整WKB分析的全球中心之一。）（i）表明，“在简单点附近，任何正式解决方案（p_j）的任何正式解决方案（j = ii，vi）（j = ii，vi）包含免费参数的任何正式解决方案。 （ii）我们成功地编写了与（P_I）关联的线性方程（SL_I）的Stokes系数。考虑到描述（sl_i）的单粒固定变体的方程是（p_i），第二个结果意味着（P_I）的连接公式的混凝土形式已大致确定，并且与第一个结果结合时，在简单的奇数点上都获得了任何（P_J）的连接公式。在证实这些结果时，重要的是要以同时方式考虑（p_j）的线性方程组（SL_J）系统，而不是处理与（p_j）在一个地方相关的线性方程（SL_J）。从这个意义上讲，这个结果（尽管我只讨论了特殊情况）也可以认为是将完全WKB分析概括为同时方程系统的可能性。但是，上述结果仍然处于正式水平，将来是使用多尺度分析构建的（P_J）的正式解决方案，并阐明其真实的分析含义。

项目成果

竹井 義次(河合隆裕、青木貴史との共著): "WKB analysis of Painleve transcendents with a large parameter,II" Conf.Proc."Strucuture of Solutions of Differential Equations"(World Scientific). 1-49 (1996)

Yoshitsugu Takei（与 Takahiro Kawai 和 Takashi Aoki 合着）：“WKB 分析具有大参数的 Painleve 超越项，II”Conf.Proc.“微分方程解的结构”（World Scientific）1-49（1996 年）。

竹井 義次(河合隆裕との共著): "On the structure of multiple-scale solutions of the Painleve equations with a large parameter" 京都大学数理解析分析研究所講究録. 968. 49-59 (1996)

Yoshitsugu Takei（与 Takahiro Kawai 合着）：“关于具有大参数的 Painlevel 方程的多尺度解的结构”京都大学数学分析研究所 Kokyuroku 968. 49-59 (1996)。