特異摂動とWKB解析

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「Painleve方程式(P_J)(J=I,...,VI)に対する完全WKB解析」の基礎理論を確立すべく、本研究では、多重スケール解析を用いて構成される2つの自由パラメータを含む(P_J)の形式解の構造を解析した。得られた結果は次の2つである。(なお、完全WKB解析の世界的な中心地の一つであるフランスのニ-ス大学において、これらの成果を発表した。)(i)「単純変わり点の近傍においては、自由パラメータを含む(P_J)(J=II,...,VI)の任意の形式解が(P_I)の形式解に変換される」ことを示した。(ii)(P_I)に付随する線型方程式(SL_I)のStokes係数を具体的に書き下すことに成功した。(SL_I)のモノドロミ-保存変形を記述する方程式が(P_I)であるという事実を考慮すれば、第2の結果は(P_I)に対する接続公式の具体形がほぼ決定されたことを意味しており、第1の結果と組み合わせれば、単純変わり点における任意の(P_J)に対する接続公式が原理的には得られたことになる。これらの結果の証明においては、(P_J)に付随する線型方程式(SL_J)を単独で扱うのではなく、変形方程式(D_J)とを連立させた線型方程式系(その両立条件が(P_J)に他ならない)を考えるという視点が重要である。この意味で、(まだ特殊例を論じたに過ぎないけれども、)この成果は、完全WKB解析の連立方程式系への一般化の可能性を示唆するものとも考えられよう。しかし、上記の結果は未だ形式的なレベルに留まっており、多重スケール解析を用いて構成された(P_J)の形式解それ自身も含や、その真の解析的な意味を明らかにすることは今後の課題である。