領域の境界上で発散する係数関数をもつ楕円形方程式の解の存在・非存在とその応用

外部領域Ω_1={x∈IR^N;|x|>1}において、次の半線形楕円型方程式を考える.(E)_1:-Δu=k(t)u^β in Ω_1,u>0 in,Ω_1,u=0 on ∂Ω_1.ただし,t=|x|,β>0,k(t)=(t-1)^<-α>,α>0とする.我々の目的は,問題(E)_1に対して,u∈C^2(Ω_1)∩C^1(Ω^^-_1),k・u^<β+1>∈L^1(Ω_1)を満足する解の存在・非存在を議論することにある.ここで,(E)_1の係数はαが正である為に境界上で特異性をもつことや,また,考える領域が非有界領域であることから,既存の結果を直接適用することが困難である。これまでの研究結果として,α=0の場合について述べる.まず,β【less than or equal】(N+2)/(N-2)に対して,T.Hashimoto＆ M.Otani(1997)によって解をもたないことが示されている.次に,β>(N+2)/(N-2)に対して,我々は,適当な変数変換を用いることによって,球対称解が存在することを示した.我々の結果を以下に述べる.・Theorem 1(i)α【less than or equal】2のとき,(N+2-2α)/(N-2)<βならば,球対称解が存在する.(ii)α【greater than or equal】2のとき,2α-3<βならば,球対称解が存在する.Th.1は,解に球対称性を仮定し,変数変換t^<N-2>=C・γ^<N-2>/(1-γ^<N-2>)を用いて,(E)_1をAnnulus領域の境界上(外径・内径とも)に特異性をもつ楕円型方程式に帰着し,解析する事により得られる.・Theorem 2 α【greater than or equal】β+1のとき,解は存在しない.ただし,係数関数k(t)は,K(x)(t-1)^<-α>で置き換えたものとする.K(x)は,K∈C(Ω^^-_1),K(x)【greater than or equal】0 x∈Ω_1,K(x)>0 x∈∂Ω_1をみたす.(可積分の条件は,K・(・-1)^<-α>・u^<β+1>∈L^1(Ω_1)に変更する.)・Theorem 3 α>2N,(β+3)/2【less than or equal】α<β+1のとき,解は存在しない.・Theorem 4 (i)α【less than or equal】-(β-1)/2のとき,解は存在しない.(ii)α【less than or equal】-(1/2-1/N)(β-(N+2)/(N-2))のとき,球対称解は存在しない.Th.2,Th.3,Th.4の証明は,Pohozaevの等式を用いる.特に,Th.3,Th.4において,重み付きのPohozaevの等式を用いる.

外部領域Ω_1={x∈IR^N;|x|>1}において、次の半線形楕円型方程式を考える.(E)_1:-Δu=k(t)u^β in Ω_1,u>0 in,Ω_1,u=0 on ∂Ω_1.ただし,t=|x|,β>0,k(t)=(t-1)^<-α>,α>0とする.我々の目的は,問題(E)_1に対して,u∈C^2(Ω_1)∩C^1(Ω^^-_1),k・u^<β+1>∈L^1(Ω_1)を満足する解の存在・非存在を議論することにある.ここで,(E)_1の係数はαが正である為に境界上で特異性をもつことや,また,考える領域が非有界領域であることから,既存の結果を直接適用することが困難である。これまでの研究結果として,α=0の場合について述べる.まず,β【less than or equal】(N+2)/(N-2)に対して,T.Hashimoto＆ M.Otani(1997)によって解をもたないことが示されている.次に,β>(N+2)/(N-2)に対して,我々は,適当な変数変換を用いることによって,球対称解が存在することを示した.我々の結果を以下に述べる.・Theorem 1(i)α【less than or equal】2のとき,(N+2-2α)/(N-2)<βならば,球対称解が存在する.(ii)α【greater than or equal】2のとき,2α-3<βならば,球対称解が存在する.Th.1は,解に球対称性を仮定し,変数変換t^<N-2>=C・γ^<N-2>/(1-γ^<N-2>)を用いて,(E)_1をAnnulus領域の境界上(外径・内径とも)に特異性をもつ楕円型方程式に帰着し,解析する事により得られる.・Theorem 2 α【greater than or equal】β+1のとき,解は存在しない.ただし,係数関数k(t)は,K(x)(t-1)^<-α>で置き換えたものとする.K(x)は,K∈C(Ω^^-_1),K(x)【greater than or equal】0 x∈Ω_1,K(x)>0 x∈∂Ω_1をみたす.(可積分の条件は,K・(・-1)^<-α>・u^<β+1>∈L^1(Ω_1)に変更する.)・Theorem 3 α>2N,(β+3)/2【less than or equal】α<β+1のとき,解は存在しない.・Theorem 4 (i)α【less than or equal】-(β-1)/2のとき,解は存在しない.(ii)α【less than or equal】-(1/2-1/N)(β-(N+2)/(N-2))のとき,球対称解は存在しない.Th.2,Th.3,Th.4の証明は,Pohozaevの等式を用いる.特に,Th.3,Th.4において,重み付きのPohozaevの等式を用いる.