非有界領域におけるナビエ・ストークス方程式の自由境界問題

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空間三次元以上の場合の時間大域解の一意存在および減衰評価は既に得られていたため，空間二次元の場合を考察した．時間大域解の一意存在および減衰評価の証明には至らなかったものの，以下に記す主な難点(1)-(3)について解決の見通しが立った．(1) 線形化問題を抽象的なCauchy問題に帰着し，評価が難しい非線形項が非線形問題の解析で現れないようにするアプローチを取ろうとしたが，帰着後の方程式の解の評価からもとの方程式の解の評価を得ることが難しかった．そこで，帰着をせずにもとの方程式をそのまま解析し，評価が難しい非線形項を精密に評価するアプローチを取った．(2) もとの方程式を解析する場合，境界条件に現れる非線形項の評価が困難となる．しかし，半空間のトレース評価を用いてその項のある評価を示した．(3) 非圧縮性条件に現れる非線形項に起因する項の評価に困難が生じた．しかし，分数べきの微分を用いて精密に評価することでその項についてもある評価を示した．(3)で述べた評価を用いるために，分数べきの微分を含む形に空間三次元以上の場合の証明を書き直す必要があるため多少改善する必要ではあるが，(2), (3)で得られた評価はほぼ適切な評価と言えると研究代表者は考える．また，以上の結果が二相問題に応用できることが分かり，齋藤平和准教授との共同研究として次の結果を得た：表面張力と重力を伴わない場合(ゆえに各流体の密度を任意の正数としてもレイリー・テイラー不安定性のようなことは起こらない)に，初期時刻において各流体が占める領域がそれぞれ三次元以上の上半空間と下半空間として，非圧縮性粘性Navier-Stokes方程式系の二相自由境界問題の解の一意存在および減衰評価を得た．また，空間二次元の場合も上記と同様の進捗状況である．この問題は，特に二次元の場合，上空から見た赤潮を含む海面の解析に応用される．