直交群上の保型形式に関する研究

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(1)直交群上のEisenstein級数に付随するKoecher-Maassのディリクレ級数に関する研究IV型領域(対応する群は符号が(2,m)の直交群)上の正則Eisenstein級数をFourier展開して得られるFourier係数の明示的な公式が得られた.この公式を使ってEisenstein級数に付随するKoecher-Maassのディリクレ級数の明不式を求めたいのだが,まだFourier係数について調べている段階である.今後もSiegel Eisenstein級数の場合を参考にしながら,この問題に取り組んでゆきたい.(2)直交群上の保型形式のなす空間の具体例に関する研究2次の四元数ユニタリ群に対応する複素領域上の正則保型形式のなす空間の具体例について考察した.正則保型形式の中で最も基本的で重要な要素である正則Eisenstein級数の構成には,これまでの研究成果として実解析的Eisenstein級数のFourier係数の明示公式が得られているので,この結果を用いた.さらに,この正則Eisenstein級数を組み合わせて尖点形式を構成した.正則Eisenstein級数だけからは得ることが出来ない尖点形式の構成には,半整数weightの保型形式から2次の四元数ユニタリ群上の保型形式への「織田孝幸氏によるlifting」を利用した.これらの尖点形式にHecke作用素を施して別の尖点形式を構成することが出来た.しかし,これらの手法を用いても構成不可能な尖点形式が存在し、この部分を解決することが問題であった.そのために,より高いweightの空間についても考察してみる必要がある.正規化された正則Eisenstein級数のFourier係数の値は非常に桁数が大きな整数になり,また尖点形式を求めるにはweightが高くなるほど複雑な計算が必要であるため,種々の数式処理ソフトを利用しているのだが,現在プログラムの試作段階で未だ重要な結果は得られていない.今後は,引き続きこの研究を行ってゆく.また,これに関連して次元公式やテータ級数についても考察したい.