跡公式による古典群上の保型形式の研究

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保型形式の構造がよくわかっている一般線型群とのArthur-Selberg跡公式の比較によって古典群上の保型形式を研究するプロジェクトを進めている。跡公式の主要部の比較やそれに伴う調和解析的な一般論については、基本補題と呼ばれる予想を仮定してではあるが、すでにJ. Arthurらによって大方の問題の解決がアナウンスされている。しかし我々の目的は、志村多様体に付随した混モチーフヘのそれらの保型形式の寄与の記述などであり、それにはユニポテント保型形式など幾何および数論的に重要な保型形式についての情報を引き出せるよう彼らの結果を精密化することが課題となる。今年度は次の二つの問題について集中的に研究を行った。まず第一に保型形式の記述の際に用いられるL函数の構成に必要な、保型形式のWhittaker実現の存在条件を研究した。SL(2)やU(3)のような低次の群上の保型形式に対してさえ、Whittaker実現は必ずしも存在しないことが知られている。そこで古典群に対して、Arthurの結果から同じL函数を共有することがわかっている保型形式の内に、Whittaker実現を持つものがただ一つ存在することを保証する結果を得た。これはU(3)などの場合でさえ保型形式の周期の詳しい研究によらねばならなかったこの問題に対して、きわめて一般的な解決を与えている。またこれにより、Whittaker実現のあるものに限定されていた局所簡約群の表現論についてのShahidi理論を一般化できるなど、表現論への応用も期待される。第二に、ユニポテント保型形式の具体的な構成を研究した。題材として4変数準分裂ユニタリ群上の保型形式を考え、その場合に期待されるユニポテント保型形式をすべて構成、記述した。このような保型形式は跡公式の比較だけでは捉えづらく、その構成にはテータ級数を用いた保型形式のリフトを用いるのが伝統的である。しかし我々はベースチェンジと呼ばれる跡公式からの帰結を用いて、テータ級数によるリフトの局所的な構造を解明し、それを用いて上の結果を得た。今後はこうして得られた保型形式たちがユニポテント保型形式を尽くすかを見ること、およびこれらの保型形式の志村多様体の解析的コホモロジーなどへの寄与の決定などが課題となる。