志村多様体を使った、古典群上の保型形式に対応するモチーフの構成

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まず次数2のSiegel保型形式に対するArthurの跡公式を得る問題については、前年度までの申請者の結果を既に知られていたランク1の群に対する結果と組み合わせることにより、次数2のSiegel保型形式の空間のスペクトル分解を与えた。これにより跡公式を与える核関数を、2次形式の整数論と古典的な楕円保型形式のリフティングの言葉で記述することができた。これは2次形式に対応するテ-タ級数や楕円保型形式に対応するモヂュラー曲線がSiegelモヂュラー多様体の因子を与えていることを考えると、幾何的にも興味深い。特にSiegelモヂュラー多様体のL^2-コホモロジーへのそれらの核関数の項の寄与を計算することは、HarderらのEisensteinコホモロジーを使った混モチーフの構成の構想にも一石を投じるものと思われる。研究課題(2)の非連結群の調和解析を扱う問題については、次数2のSiegel保型形式の研究に必要な場合には非連結群のハイパーコホモロジーが全てSp(2)の部分群のガロワコホモロジーに帰着されることを得ただけにとどまっている。次に研究課題(3)のp-進群のアフィンヘッケ環の表現の分類についてはKazhdan-Lusztigのシュバレー群の場合の結果を拡張して不分岐なユニタリ群の場合に表現の分類を得た。この拡張方法についてはLusztig自身もその1996年の論文中で触れている。しかし"fundamental lemma"の証明には分類されたアフィンヘッケ環の表現に対応するp-進群自身の既約表現の指標の決定が不可欠であることに最近気づいた。そのためにはこれらの表現たちの間の準同型を与える絡作用素たちの群、いわゆるR-群の構造を調べる必要があり、今後の課題の一つとしたい。最後にp-進群上の不変超関数の漸近挙動については情報の収集に止まっており、実質的な作業には手が付かなかった。