Hecke環及び組みひも群の表現論

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一般にSL(3,C)の有限部分群Gに対してHilbert scheme Hilb^G(C^3)からC/GへのHilbert-Chow morphism π : Hilb^G(C^3) → C/Gが特異点解消であることがわかっているが、Hilb^G(C^3)の具体的な構造については一部の場合を除いてほとんどわかっていない.その構造を具体的に求めることを目標とし、その第一歩としてcoinvariant algebra S_Gの既約分解を、8個の散在的に存在する群と2つの主な系列の群に対して得た.またSO(3,R)の有限部分群に対しては2次元の場合のいわゆるMcKay対応の拡張とも言うべき興味深い結果が得られた.GがSO(3,R)の有限部分群の場合、原点のfiber π ^^<-1>(0)は射影直線P^1達で構成されることがわかった.さらに、その双対グラフはGの表現グラフから単位指標に対応する頂点を取り除いた部分グラフに一致することがわかった.この現象はSU(2,C)の有限部分群の場合に原点のfiberの双対グラフや表現グラフの部分グラフにADE型のDynkin図形が現れた現象と酷似している.またSU(2,C)の有限部分群において、各既約指標に対して定義されるMolien seriesがある種の等式を満たすことがSpringerやMcKayに指摘されているが、一般にGL(n,C)の有限部分群に対しても外積代数上の表現と関係付けることによってMolien seriesの間にある種の等式が成り立つことがわかった.特にSO(3,R)の有限部分群に対しては、この等式を制御しているものは対応する表現グラフであって、これはSU(2,C)の有限部分群の場合にADE型のDynkin図形によって制御されていたことの類似になっている.