Lie型有限群とHecke環の表現論

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岩堀-Hecke環はCoxeter群の類似として生成元と基本関係によって定義される。{qs;s∈S}をそれを定義する際のパラメーターとすると,体K(√<qs>;s∈S)上において岩堀-Hecke環は分解半単純環であることが知られている(ただし,Weyl群のときK=h,H_3,H_4型のとき,K=h(√<5>),I_2(m)型のときK=h(cos(2π√<-1>/m))。)それを一般の体に特殊化した特殊環の半単純性に関する問題は行者氏によって完全に解決された。放物型岩堀-Hecke環とはその部分環にあたり,岩堀-Hecke環がBorel部分群に対応しているのに対し,放物型岩堀-Hecke環は放物型部分群に対応するものである。私はその放物型岩堀-Hecke環を一般の体に特殊化した特殊環の半単純性に関する問題について完全に解決し,Journal of Algebraに論文として発表した。複素鏡映群はCoxeter群をより一般的にしたものと捕えることができる。その複素鏡映群の類似としてのHecke環も定義されている。さらにそれらの放物型Hecke環も岩堀-Hecke環の場合とほぼ同様に定義することができる。私は現在それらの指標表や半単純性について研究中で小さな例において具体的に計算を試みているところである。