リーマン面のモジュライ空間の位相的性質

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リーマン面のモジュライ空間の位相的性質を考えるためには,多くの場合,適切な付加構造をリーマン面に与え,その付加構造込みのモジュライ空間を考える場合が多い.本研究では,リーマン面に"井桁構造"と呼んでいるホモロジーに関する付加構造を与える場合,"dipole"と呼んでいる特殊な第2種アーベル微分を付加構造として与える場合について,以下の知見を得た.1 井桁構造を持つリーマン面のモジュライ空間が種数を超えてKricheverの写像を通して佐藤グラスマン多様体に自然に埋め込まれることがわかった.すなわち,井桁構造を持つリーマン面は,佐藤グラスマン多様体の点を表している.さらに,井桁構造を持つリーマン面のモジュライ空間も佐藤グラスマン多様体も自然なC×C^x作用を持つが,上記の埋め込みは,この作用に関して同変であることが分かった.2 "深度付き稲妻多角形"と呼ばれるガウス平面上のある種の多角形を定義し,各深度付き稲妻多角形にそこから自然に得られるdipole付きリーマン面を対応させることにより,dipole付きリーマン面と深度付き稲妻多角形を1対1に対応させることに成功した.これは,dipole付きリーマン面のモジュライ空間の胞体分割を与える.しかし,古典的なリーマン面のモジュライ空間との関係,特にMMM類との関係は,未だにはっきりとした形では得られていない.ただし,今回,力学系の理論からの視点で,dipole付きリーマン面のモジュライ空間を考える方法論を得ることができ,それにより,古典的なリーマン面のモジュライ空間との関係が探れるものと期待される.