Siegel modular forms and algebraic modular forms

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(1)レベルが素数 p のパラモジュラー群に対するジーゲル保型形式（パラモジュラー形式）の、対合に関して、+1 およびマイナス -1 になる空間の次元公式を論文にまとめた。このうち、プラスに対応するものは偏極(1,p) に対するクンマー曲面のモジュライに付随する保型形式環を与え、特にウェイト３のものは、この標準因子と対応しており、申請者の次元公式を用いて、この次元が 0 なるような素数レベルを完全に決定した。これ以前には V. Gritsenko, C. Poor. D. Yuen 等の小さな素数での個別的な実験的な結果があったが、これをすべての素数で決定したものである。(2) ２次体の極大とは限らない整数環の種の理論はガウス・ディリクレ以来の古典的な整数論の花形であったが、いわゆる種指標の L 関数の具体的な公式はごく最近、金子昌信、水野義紀が結果を出版するまで知られていなかった。筆者はこの別証を以前から保持していたが、今回、固有イデアルがみな局所単項であるという事実に注目して、種指標の値の古典的な具体的な記述などをすべてアデールで書き直し、前記の L 関数の公式についての非常に明快な短い証明を与えた。申請者の知る限り、整数論の長い歴史にもかかわらず、このような記述は初めてである。(3) Chia-Fu Yu（台湾中央研究院）, V. Karemaker（ユトレヒト）と、超特異アーベル多様体の、central leaf の個数や偏極の個数等に関して、その個数が 1 になる多数の幾何学的な対称の決定をおこない、論文にまとめた。(4) R. Salvatti Manni, G. Mondello（ローマ）, S. Grushevsky（アメリカ)と主偏極アーベル多様体のモジュライの moving slope の評価を研究史、申請者の微分作用素の理論を応用して論文にまとめた。