カラビ・ヤウ多様体の変形空間とミラー対称性

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(1,8)型の偏極アーベル曲面をファイバー空間とするカラビ・ヤウ多様体について，継続して研究を行った．今年度は，いくつかの国内外の研究集会で研究成果を整理して発表する機会があり，多数の研究者とともに有益な議論をすることが出来た．議論を通して，着目しているカラビ・ヤウ多様体には，ミラー対称性に関わる諸性質のほとんどすべてが登場していることを改めて認識するに至った．特に，このカラビ・ヤウ多様体の周期領域はアーベル多様体のモジュライ空間と深く関わっていることが強く示唆されていて，その様子が解明できれば，高次元カラビ・ヤウ多様体の周期領域の解明に向けて大きな手がかりとなるとの予想に至った．予想の検証に向けて，グロモフ・ウィッテン不変量の母関数に現れる楕円モジュラー関数が大きな手がかりとなると思われ，高次種数のグロモフ・ウィッテン不変量の計算の準備を開始した．高次種数のグロモフ・ウィッテン不変量の生成母関数を計算するに当たっては，正則アノマリー方程式の構造解明が不可欠である．そこでその方程式の構造解明のための１ステップとして，正則アノマリー方程式をK3曲面の場合に当てはめて得られるBCOV公式に焦点を当てて，この公式を格子偏極K3曲面について具体的に計算して決定することを行った．その結果，偏極が階数19のK3曲面の場合にBCOV公式から，イェータ関数の積で表される特徴的な上半平面の尖点形式が得られることが判明した．さらに，結果として現れる尖点形式が３次の微分方程式と密接に関係することが見つかった．加えて多変数のモジュラー形式が現れる例として，階数17のK3曲面の１例を詳しく調べ，この場合にBCOV公式から井草の尖点形式と呼ばれる種数2のジーゲルモジュラー形式が現れることを示した．これらの結果は，３次元カラビ・ヤウ多様体のBCOV公式の数学的な理解に向けた研究の手がかりになるものである．