多変数複素解析学における漸近解析

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多変数複素解析学において非常に重要な積分核であるベルグマン核とセゲー核の境界における特異性について研究を漸近解析的に行なった。この研究を二つの場合に分けると、領域の対角線集合上に制限した場合の境界における発散の状況を調べる場合と,対角線集合以外の境界における滑らかさを調べる場合とになる。前者の研究に関しては,C. Feffermanによる強擬凸領域の場合の研究がたいへん有名である.私は,領域のレヴィ形式が退化した場合、すなわち弱擬凸領域の場合についてこの期間に研究を行なったわけであるが,特に,特異点論的なアプローチにより,強い結果を得ることに成功し,さらにそれを発展している.領域の定義関数のニュートン図形というものを定義し,その形状から特異性を決めていくという試みは,振動積分の漸近解析と類似するものである.この背景には,領域を有限型というクラスに制限していることが本質的であり,今後このアプローチにより,このクラスで示されていない多くの問題が解決されることと思われる.二つ目の場合の研究については,Sypmlectic幾何学の言葉を使うとより一般的な状況で研究が進展するのではないかと思われる事例がいくつかみつかった。これらは、楕円型作用素の準楕円性の問題と深い関係がある。昨年度は、これを柱状という形状のもとで研究を行ってきたわけであるが、今年度は、さらに一般的な状況で研究を押し進めた。また、実解析学や微分幾何学との関連からも、ベルグマン核は興味深い研究対象であり、これらの視点からもいくつかの研究を行った。特にベルグマン計量は、非常に有用な計量であり、ベルグマン核の特異性の研究と平行して行った。