自由確率論の視点からのフォンノイマン環の研究

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1.ここ数年来行ってきた量子群作用の仕事で導入した自由積型自己同型のアイディアを発展させることを考えた。具体的には、自由群因子環上の自己同型で種々の特殊な性質をもつものの構成に応用した。結論の一つとして、接合積をとると区別できなくなるような外部同値ではない外的自己同型を非可算無限個構成した。これは分類可能な因子環で起こる現象と全く異なる今回初めて示されたものである。この結果は日合文雄氏との共著論文の一部として発表した。2.自由確率論の応用として、以前に行われた様々な散発的結果の再考察を行った。具体的には,Haagerupにより導入された近似性質をある種の融合積に対して調べた。少し弱めた相対版と言うべき性質はいつでも成り立つが、そのものは成り立ったり成り立たなかったりすることを種々の具体例を構成することにより示した。一方、ある種のエルゴード理論に関連した融合積の自己同型群を調べた。完全に一般の自己同型を調べることは望むべくもないが、ある種の性質を満たす自己同型のなす部分群ならエルゴード理論との関連で詳しく調べることができることを確認した。3.真に非可換なエルゴード理論を探究した。エルゴード理論の本質的なアイディアの一つとして写像の局所的な切り張りによる議論があるが、非可換測度空間である作用素環で同じことを実行しようとすると本質的な困難がある。しかし、ごく最近発表された仕事の中にかなり限定された状況下ではあるが、非可換な場合での切り張り議論に相当すると考えられなくもないものを見い出した。これは,研究目的に本質的に関わるものであり,今後もこの方向の研究を継続したい。