折り紙工学支援のための折り紙の数理的研究

四辺形から変形鶴を折ることができるのは、四辺形が内接円を持つ場合であり、またその場合に限る。このとき、鶴の中心は向かい合う頂点を焦点とし、残りの2頂点を通る双曲線上にある。これが研究分担者とジュスタン(仏)が独立に得た結果である。本研究では、この折り鶴変形理論の様々な方向への拡張を中心に、以下の結果を得た。1.多角形への拡張:ジュスタンが提唱した多角形鶴の完全基本形に対して、双曲線を用いることによって多角形を特徴づけることに成功した。これにより、与えられた多角形から鶴の完全基本形を折ることができるかどうかを判定できるようになった。さらに、鶴の中心は各頂点を通る双曲線の中心になることを示した。2.非有界な四辺形への拡張:非有界な四辺形からも変形鶴を折ることができる。その場合は、鶴の中心を決定するには、双曲線以外に楕円と放物線が必要になることを証明した。さらに、その結果を基に、変形鶴の相互関係を整理し、変形鶴の世界地図を立体的に表現することに成功した。その地図の形状が水晶を連想させることから、分担者はそれをクリスタルマップと命名した。3.球面鶴への拡張:球面上でも変形鶴を折ることができる。その統一的な考察をおこない、球面2次曲線との関係を明らかにした。4.糊しろを貼って作るペーハークラフトの折紙化から派生して、AB=DCなる四角形ABCDを折って2辺を重ねる問題がある。この際にできる折り目の幾何学的性質を研究した。以上の結果を、日本折紙学会第7回関西コンベンション、第12回折紙学会コンベンションでそれぞれ1件、カリフォルニア工科大学で開催された第4回折り紙の科学、数学、教育国際会議で2件発表し、2編の論文を投稿済みである。また、分担者はこの国際会議の実行委員として企画運営に当った。

四辺形から変形鶴を折ることができるのは、四辺形が内接円を持つ場合であり、またその場合に限る。このとき、鶴の中心は向かい合う頂点を焦点とし、残りの2頂点を通る双曲線上にある。これが研究分担者とジュスタン(仏)が独立に得た結果である。本研究では、この折り鶴変形理論の様々な方向への拡張を中心に、以下の結果を得た。1.多角形への拡張:ジュスタンが提唱した多角形鶴の完全基本形に対して、双曲線を用いることによって多角形を特徴づけることに成功した。これにより、与えられた多角形から鶴の完全基本形を折ることができるかどうかを判定できるようになった。さらに、鶴の中心は各頂点を通る双曲線の中心になることを示した。2.非有界な四辺形への拡張:非有界な四辺形からも変形鶴を折ることができる。その場合は、鶴の中心を決定するには、双曲線以外に楕円と放物線が必要になることを証明した。さらに、その結果を基に、変形鶴の相互関係を整理し、変形鶴の世界地図を立体的に表現することに成功した。その地図の形状が水晶を連想させることから、分担者はそれをクリスタルマップと命名した。3.球面鶴への拡張:球面上でも変形鶴を折ることができる。その統一的な考察をおこない、球面2次曲線との関係を明らかにした。4.糊しろを貼って作るペーハークラフトの折紙化から派生して、AB=DCなる四角形ABCDを折って2辺を重ねる問題がある。この際にできる折り目の幾何学的性質を研究した。以上の結果を、日本折紙学会第7回関西コンベンション、第12回折紙学会コンベンションでそれぞれ1件、カリフォルニア工科大学で開催された第4回折り紙の科学、数学、教育国際会議で2件発表し、2編の論文を投稿済みである。また、分担者はこの国際会議の実行委員として企画運営に当った。