アーベル多様体の有理点のp進的手法による研究

この研究の目的は、楕円曲線、アーベル多様体の有理点(有理数解)を求めるという古典的な問題について、p進的手法を用いた新しい方法を開発することであった。有理数体上の楕円曲線に対し、有理点を理論的、組織的に求める一般的な方法はHeegner点の理論とその類似くらいしか知られていなかったが、私はRobert Pollack氏との共同研究で、超特異還元を持つときの岩澤理論、特にp進L関数を使って、有理点を構成する方法を得た。この方法の中心にあるp進高さ関数を詳しく研究し、階数が高い楕円曲線を扱いたいと考えていたが、今のところ望むような結果は得られなかった。しかしながら、超特異還元をもつ岩澤理論について、新しい知見が得られ、この理論の一般化、特に通常還元でない素数に対して、代数体上の楕円曲線、アーベル多様体、重さが2より大きい保型形式に対する岩澤理論について、問題が整理され、簡明な視点から問題を考えることができるようになり、このような岩澤理論についてもわかりやすい岩澤主予想が定式化できる場合があることがわかった。

この研究の目的は、楕円曲線、アーベル多様体の有理点(有理数解)を求めるという古典的な問題について、p進的手法を用いた新しい方法を開発することであった。有理数体上の楕円曲線に対し、有理点を理論的、組織的に求める一般的な方法はHeegner点の理論とその類似くらいしか知られていなかったが、私はRobert Pollack氏との共同研究で、超特異還元を持つときの岩澤理論、特にp進L関数を使って、有理点を構成する方法を得た。この方法の中心にあるp進高さ関数を詳しく研究し、階数が高い楕円曲線を扱いたいと考えていたが、今のところ望むような結果は得られなかった。しかしながら、超特異還元をもつ岩澤理論について、新しい知見が得られ、この理論の一般化、特に通常還元でない素数に対して、代数体上の楕円曲線、アーベル多様体、重さが2より大きい保型形式に対する岩澤理論について、問題が整理され、簡明な視点から問題を考えることができるようになり、このような岩澤理論についてもわかりやすい岩澤主予想が定式化できる場合があることがわかった。