代数関数体の非有理次数の研究

体k上の代数多様体VあるいはVをモデルとする代数関数体Lに対する非有理次数dr(V)の研究を行なった。Vの次元が1のときはgonalityと一致し不十分ながらも成果はあるので2次元のときを研究した。まずVがC×P^1と双有理同値のときにはdr(V)=dr(C)が判るので,小平次元が0のクラスを調べることにし,まずアーベル曲面を取りあげた。dr(A)〓3となることはアーベル曲面Aに対して得られていたので,dr(A)=3となる例を探すことを試みた。その結果次の様な沢山の例を発見した:(イ)曲線のヤコビ多様体の2重被覆となるとき。(ロ)虚数乗法をもつ楕円曲線Eに対して,A=E×Eとなるとき。(ハ)種数2の曲線で位数3の自己同型をもつもののヤコビ多様体,などである。但し残念なことにdr(A)〓4となる例は見つけられず,今後の課題となっている。一方上記の研究に関連して,2変数アーベル関数体のすべてのガロワ部分体をガロワ群のホロノミー表現を用いて決定することを試みた。特に部分体が有理的のときにはガロワ群の位数がdr(A)以上ということである。この研究では特にエンリクス曲面の関数体になる新しい例も発見された。当然予想される事であるが,大部分の部分体は有理的となっている。なお小平次元0の他のクラスとして超楕円曲面Sに対しては3〓dr(S)〓12が得られ,エンリケス曲面についてはdr(S)=2も得られた。あと残ったK3曲面についてであるが,これは難しく,4次超曲面に対して判明しているにすぎない。但し楕円曲面の構造を持つときは比較的楽にdrを決定できそうであるが,これも今後の課題である。

体k上の代数多様体VあるいはVをモデルとする代数関数体Lに対する非有理次数dr(V)の研究を行なった。Vの次元が1のときはgonalityと一致し不十分ながらも成果はあるので2次元のときを研究した。まずVがC×P^1と双有理同値のときにはdr(V)=dr(C)が判るので,小平次元が0のクラスを調べることにし,まずアーベル曲面を取りあげた。dr(A)〓3となることはアーベル曲面Aに対して得られていたので,dr(A)=3となる例を探すことを試みた。その結果次の様な沢山の例を発見した:(イ)曲線のヤコビ多様体の2重被覆となるとき。(ロ)虚数乗法をもつ楕円曲線Eに対して,A=E×Eとなるとき。(ハ)種数2の曲線で位数3の自己同型をもつもののヤコビ多様体,などである。但し残念なことにdr(A)〓4となる例は見つけられず,今後の課題となっている。一方上記の研究に関連して,2変数アーベル関数体のすべてのガロワ部分体をガロワ群のホロノミー表現を用いて決定することを試みた。特に部分体が有理的のときにはガロワ群の位数がdr(A)以上ということである。この研究では特にエンリクス曲面の関数体になる新しい例も発見された。当然予想される事であるが,大部分の部分体は有理的となっている。なお小平次元0の他のクラスとして超楕円曲面Sに対しては3〓dr(S)〓12が得られ,エンリケス曲面についてはdr(S)=2も得られた。あと残ったK3曲面についてであるが,これは難しく,4次超曲面に対して判明しているにすぎない。但し楕円曲面の構造を持つときは比較的楽にdrを決定できそうであるが,これも今後の課題である。