代数曲面の非有理次数の研究

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2変数代数関数体についての,非有理次数を求めること,言い替えると,代数曲面Sについての非有理次数d_γ(S)を決定することが目的である。これまでのところ小平次元が負の無限大の曲面と幾つかのアーベル曲面だけしか判明していなかった。当該研究では小平次元が0のクラスのうち,特にアーベル曲面と超楕円曲面について研究した。1.アーベル曲面AについてはすでにAが主偏極アーベル曲面の不分岐2重被覆となっていれば,d_γ(A)=3と判明していた。この他に大切な例として2つの楕円曲線の積A=E×Eであるときどうかということが問題であった。d_γ(A)=3であるための十分条件として,A上に種数3の非特異曲線が存在することという判定条件を示し,それを用いておよそ次に述べる成果を得た:Eが虚数乗法を持てばA=E×Eの非有理次数は3である。なおこの結果はAがいつ代数曲線のヤコビ多様体になるかという問題を,林田・西氏がA上に種数2の非特異曲線が存在するための条件として考察したが,それと同様な議論の結果得られたものである。なお非有理次数が4以上の例を見つけようとしたが,今の所成功していない。今後の課題である。2.超楕円曲面Sについてはd_γ(S)>2ということだけで詳しい値は分かっていなかった。この研究ではSが2つのファイバー空間の構造を持つことに注目し,それぞれのファイバーを用いて因子を作り,有理写像を考察することで非有理次数の評価を試みた。超楕円曲面は諏訪氏の分類表に基づいて,7種類に分類されるが,そのうちの2種はd_γ(S)=2他はd_γ(S)=3,4という成果が得られた。