埋込みと次元

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埋め込みと次元に関する研究として、距離空間の埋め込みや、離散構造の埋め込み、位相幾何における埋め込みの問題などについて研究を行った。1.6頂点の完全グラフを3次元空間に埋め込むと、必ずリンクが現れるという定理(証明は容易)を利用して、射影平面を3次元空間内に埋め込むことは不可能あるという事実の大変簡単な証明を与えた。(今までの証明は(コ)ホモロジー論理などを用いるため、多くの準備を必要とした。)2.4k次元コークリッド空間の超平面上にある任意の‘格子点の集合'Xは、4k-1次元空間内のある格子点集合に相似であることを証明した。これは、「4k-1次元の正則単体は4k-1次元内の格子点を頂点とする単体として実現できる」という、シェーンベルグの1937年の結果を一般化したものとなっている。また、n次元‘格子多面体'(格子点を頂点とする多面体)は、必ず2n+1次元空間に格子多面体として相似埋め込みできることを証明した。3.n次元空間内の点集合Xがあるユークリッド空間の有理点集合内に等長埋め込みできるための必要十分条件はXの任意の2点間の距離の2乗が有理数であること、またその場合、Xは3n+1次元空間の有理点集合内に等長埋め込みでき、2n+1次元空間の有理点集合内に相似埋め込みできることを証明した。n次元空間内の有限点集合を超平面に射影して近似するとき、近似の度合の限界について調べ、特に、3次元空間内の4点集合の場合、近似が最も悪くなるのは正四面体の頂点集合であることを証明した。そのほか、本研究を通して周辺領域における多くの結果を得たが、それらについては割愛する。