離散幾何とその応用

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離散幾何およびその応用に関して以下の研究結果を得た。1.R^n内のn次元単体Tに対して、Tの1つの面の決定する超平面に関してTと対称な単体をとることを‘Tを面に関して折り返す'と言う。ある単体Tから出発して、‘面に関して折り返す'操作を次々行って得られる単体達の頂点の集合をΩ(T)で表す。このとき(1)n>2でTがn次元の正則単体ならΩ(T)はR^nで到るところ稠密である。(2)平面上の三角形Tについては、3つの角が(60°,60°,60°),(30°,30°,120°),(45°,45°,90°)(30°,60°,90°)となる4つの場合を除いてΩ(T)は平面上到るところ稠密である。(平面の場合については、P.フランクル(仏)、I.バラニ-(ハンガリ-)の協力による。)2.n次元ユ-クリッド空間内の辺長1の等辺フレ-ムワ-クに関して、(1)どんな等辺フレ-ムワ-クFもrigidな等辺フレ-ムワ-クに拡大できる。(2)Fがその形を変えずにrigidな等辺フレ-ムワ-クに拡張できるための必要十分条件は、Fの頂点間の距離がすべて代数的数であることである。(3)任意の代数的数r>0はR^n内のrigidな等辺フレ-ムワ-クの2頂点間の距離として実現される。3.平面上の等辺フレ-ムワ-クでrigidでしかも三角形を持たないものが存在するかという問題に対して、2部グラフとなる平面上のrigidな等辺フレ-ムワ-クを構成してみせた。そのほか、研究課題と周辺領域に入る多くの結果を得たが、それらについては割愛する。