正規del Pezzo曲面上の直線の配置

点击翻译按钮获取中文摘要

正規del Pezzo曲面上X(即ち,反標準因子-K_XがampleであるようなC上の正規ゴレンスタイン射影曲面)は次数d:=K^2_X【.1toreq.】6であればX上の直線L(即ち,(K_X・L)=-1となる有理曲線)は有限個でありその個体は固定したdに対して一意的に定まらず,その時のXの特異点(実は,有理二重点しか持たない)のタイプによって変わる.Xの非特異モデルをMとすると,MはP^2からalmost general position にあるs(3【.1toreq.】s【.1toreq.】8)個の点をブロ-・アップする事によって得られる射影代数曲面である.この時,X上の直線LのM上の第一種例外曲線との間には一対一の対応があるので特異点を解消したM上で考える.今,Xd,Mdをそれぞれ代数d(1【.1toreq.】d【.1toreq.】の正規del Pezzo曲面及びその非得意モデルとし,l_dにてM_d上の第一種例外曲線の個数とする.本研究では特別な場合として,各d(1【.1toreq.】d【.1toreq.】6)に対してl_d=1の場合を考察した.得られた結果は次の通りである.(A).(1)d=1の時,X_1はE_8型の有理二重点を唯一もつ。(2)d=2の時,X_2はE_7型の有理二重点を唯一もつ。(3)d=3の時,X_3はE_6型の有理二重点を唯一もつ。(4)d=4の時,X_4はD_5型の有理二重点を唯一もつ。(5)d=5の時,X_5はA_4型の有理二重点を唯一もつ。(6)d=6の時,X_6はA_1型及びA_2型の有理二重点を丁度二個もつ.(B).上述のX_d(1【.1toreq.】d【.1toreq.】6)は全て第二ベッチ数b_2=1をもつC^2のコンパクト化であり,逆に,第二ベッチ数b_2=1をもつ正規del Pezzo曲面上でC^2のコンパクト化であるものは上述のX_d(1【.1toreq.】d【.1toreq.】6)に限る.これらの結果は現在論文として準備中である.