非線型波動方程式と力学系の理論

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代表者の実績について述べる.先ず,全空間における摩擦項をもつ半線型波動方程式の大域解の存在問題を取上げた.有界領域の場合と異なり,全空間における方程式では,摩擦項の影響がかなり弱くなり従って大域解の存在問題はdelicateになる。この研究では,いわゆる爆発項を非線型項にもつ場合について「修正されたポテンシャルの井戸」なる概念を導入することによって「弱解」の大域的存在を示したものである.さらにこれをもとにエネルギー減衰と古典解の存在も示した.次に有界領域の問題として,解が大きくなると極端に摩擦力が弱くなるメカニズムをもつ非線型波動方程式を扱った。この場合,解の正則性も未解決であることからエネルギーの減衰評価は極めてデリケートであるが,新しい工夫を導入することによってこれまでの結果を一般化するとともに上記のような問題についても解決を与えた。上に述べた結果は解が時間とともに定常状態(0解)に収束する場合だが,周期的な外力が加わったときなど,解の漸近挙動を上記の結果と力学系の理論を組み合せることによってくわしく調べられるであろう.それは現在検討中である.Quasi-linearの方程式についても投稿中の結果を得ている.各分担者もそれぞれの観点から標題の研究に資する興味深い結果を得た.とくに幸崎-浜地の結果は力学系の理論に関するものである.加藤はNavierstoRes方程式について正則性と一意性に関する新しい結果を得た。