Zahme abgeleitete Kategorien und ihre Anwendungen in der Algebraischen Geometrie, Darstellungstheorie, Singularitätentheorie und der mathematischen Physik

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Die Technik abgeleiteter und triangulierter Kategorien ist eine universelle Sprache, in der eine Synthese von Konzepten und Methoden verschiedener mathematischer Gebiete kumuliert. Mit ihrer Hilfe kann man Begriffe und Ergebnisse aus der algebraischen Geometrie bei der kompakten Formulierung und Lösung komplizierter analytischer Probleme anwenden, ein bekanntes Beispiel davon ist die Interpretation von Komplexen kohärenter Garben auf Calabi-Yau Varietäten als D-Branes in der homologischen Spiegelsymmetrie und in der Stringtheorie. Im Fall von abgeleiteten Kategorien auf elliptischen Kurven und ihren Entartungen wollen wir uns mit Anwendungen zu Yang-Baxter Gleichungen und integrablen Systemen weiter beschäftigen.Die Untersuchung kohärenter Garben auf projektiven Kurven vom arithmetischen Geschlecht eins steht in enger Beziehung zur Darstellungstheorie von gewissen assoziativen Algebren. Ein weiteres Ziel des Projektes ist, die geometrische Intuition von kohärenten Garben auf den nicht-kommutativen Fall zu übertragen.Verschiedene Fragen der birationalen Geometrie dreidimensionaler Singularitäten, wie zum Beispiel die Existenz einer krepanten Auflösung, lassen sich in der Sprache von maximalen Cohen-Macaulay Moduln formulieren. Durch das Konzept der Cluster-Kipp-Theorie wird ein Zusammenhang zwischen der stabilen Kategorie von CM Moduln über Gorensteinschen lokalen Ringen und Darstellungen gewisser zahmer assoziativer Algebren hergestellt.Es sollen im Rahmen des Projektes folgende konkrete Themen behandelt werden:- Abgeleitete Kategorien von Entartungen elliptischer Kurven- Vektorbündel auf elliptischen Faserungen und ihre Anwendungen in der mathematischen Physik- Zahme abgeleitete Kategorien von assoziativen Algebren und ihre Geometrie- Cohen-Macaulay Moduln über Kurven- und Flächensingularitäten