パンルヴェ第VI走方程式の非線型モノドロミーと複素離散力学系

Painlevé VI 旅行方程的非线性单调性与复杂离散动力系统

• 批准号: 15654026
• 负责人: 岩崎 克則
• 金额: $ 0.96万
• 依托单位: Kyushu University
• 依托单位国家: 日本
• 项目类别: Grant-in-Aid for Exploratory Research
• 财政年份: 2003
• 资助国家: 日本
• 起止时间: 2003 至 2005
• 项目状态: 已结题
• 来源: https://kaken.nii.ac.jp/en/grant/KAKENHI-PROJECT-15654026/
• 关键词: パンルヴェ第IV方程式; ポアンカレ回帰写像; 複素三次曲面; 双有理写像; 位相的エントロピー; 双曲型不変測度; カオス力学系; 周期点; パンルヴェ第VI方程式; 非線形モノドロミー; リーマン・ヒルベルト対応; モジュラー群; 複素離散力学系; 安定放物型接続; 保測力学系

パンルヴェ第IV方程式の非線形モノドロミー,即ちポアンカレ回帰写像のなす複素力学系についての研究を行った。岩崎克則は,前年度までの成果である,パンリヴェ力学系の相空間,初期値空間のモジュライ理論的構成,リーマン・ヒルベルト対応による複素三次曲面上の離散力学系への共役写像の構成等の基盤整備に基づき,今年度は下記の研究を行った。(1)ポアンカレ写像の周期点の個数の計算:パンルヴェ方程式のモジュライ理論的構成,リーマン・ヒルベルト対応の双正則性,複素三次曲面の幾何学,初期値空間上のポアンカレ写像に対応する三次曲面上の双有理写像の力学系の考察,特にその力学系のコホモロジー群への誘導線形写像の考察,力学次数の計算,レフシェッツの不動点公式の適用等の議論を経ることにより,ポッホハマー・ループに沿うポアンカレ写像の周期点の個数を計算した。この公式は,周期を与えたとき,その周期を持つ周期点の個数を明示的に表す具体的な公式であり,特にその個数が周期と共に指数関数的に増大することを示している。(2)ポアンカレ写像のエルゴード理論的研究:パンルヴェ方程式の定義領域であるリーマン球面から3点を除いた領域上の,すべての非初等的な閉曲線に対して,その曲線に沿うポアンカレ写像がカオス的であることを示した。すなわち,位相的エントロピーが正であること,混合的であり鞍点型の双曲型不変測度が存在すること,その不変測度が最大エントロピー測度であること,その測度の台における双曲型不動点の稠密性等の発見である。その証明には,最近急速に発展している複素曲面上の双有理写像の力学系の成果が極めて有効に応用された。これらの成果は,従来可積分系の立場から研究されることが殆どであったパンルヴェ方程式の分野に,カオス的な現象が実際に起こることを発見したものであり,その点で全く新しい成果であるといえる。これらの研究を実行するに際して,研究代表者の岩崎克則は,分担者の石井豊と定期的に複素曲面上の力学系のエルゴード理論に関するセミナーを実施した。また,これまでの成果をまとめた概説論文を執筆した。また,石井豊は,双曲的な複素エノン写像の研究を行った。特に、拡大的1変数多項式の摂動としては決して得られないような双曲的エノン写像の構成に成功した。

A study of the nonlinear equation of equation IV, i.e., the nonlinear equation of equation IV, is carried out. Katsunori Iwasaki, the author of the previous year's work, has conducted the following research on the basis of the theoretical composition of the phase space of the mechanical system, the initial value space, and the composition of the image of the discrete mechanical system on the complex cubic surface. (1)The calculation of the number of periodic points of a complex image: the theoretical composition of the equation, the biregularity of the complex image, the geometry of a complex cubic surface, the investigation of the mechanical system of the birational image on the cubic surface of the complex image in the initial value space, the investigation of the induced linear image of the complex image in the mechanical system, the calculation of the number of mechanical times, the application of the fixed point formula, etc. The formula indicates the number of periodic points, especially the number of periodic points. (2)A study on the theory of " The existence of hyperbolic invariant measure of saddle point type, the density of hyperbolic invariant measure, the maximum invariant measure of phase, the density of hyperbolic invariant measure of mixture, etc. It is proved that the recent rapid development of the mechanical system of birational images on complex prime surfaces is extremely useful. The result of this study is that the position of the integral system is different from that of the equation. During the research, Katsunori Iwasaki, the representative of the research, and Toyoshi Ishii, the author of the periodic mechanical system on the complex prime surface, carried out the research. The author of this paper is the author of the paper.また,石井豊は,双曲的な复素エノン写像の研究を行った。A large number of polynomials are used to solve the problem of hyperbolic image formation.

项目成果

Katsunori Iwasaki: "An area-preserving action of the modular group on cubic surfaces and the Painleve VI equation"Communications in Mathematical Physics. 242(1-2). 185-219 (2003)

Katsunori Iwasaki：“立方表面模群的面积保持作用和 Painleve VI 方程”数学物理通讯。

Moduli of stable parabolic connections, Riemann-Hilbert correspondence and geometry of Painleve equations of type VI,Part I

稳定抛物线连接的模、Riemann-Hilbert 对应关系和 VI 型 Painleve 方程的几何，第一部分

• 发表时间: 2006
• 期刊: Publication of Research Institute for Mathematical Sciences 42
• 作者: S.Kamada;Y.Matsumoto;M.Inaba et al.
• 通讯作者: M.Inaba et al.

Sensitivity of minimaxity and admissibility in the estimation of a positive normal me an

极小极大值的敏感性和正态均值估计中的可接受性

• 发表时间: 2005
• 期刊: Annals Inst. Statistical Math. 57・1
• 作者: Y.Maruyama;K.Iwasaki
• 通讯作者: K.Iwasaki

Sensitivity of of minimaxity and admissibility in the estimation of a positive normal mean

正态正态平均值估计中极小极大值和可接受性的敏感性

• 发表时间: 2005
• 期刊: Journal of the Institute of Statistical Mathematics 57(in press)
• 作者: Y.Maruyama;K.Iwasaki
• 通讯作者: K.Iwasaki

Backlund transformations of the sixth Painlev'e equation in terms of Riemann-Hilbert correspondence

第六 Painleve 方程的黎曼-希尔伯特对应关系的 Backlund 变换

• 发表时间: 2004
• 期刊: International Mathematical Research Notices 2004・1
• 作者: M.Inaba;K.Iwasaki;M.-H.Saito
• 通讯作者: M.-H.Saito