代数体の整数論及びその関連分野の研究

研究計画にも述べた様に、代数体kのZp拡大(Pはある素数)のラムダ不変量及びミュー不変量を、kと代数関数体との類似を意識しながら研究した。但し、ミュー不変量については、それが0に等しくないと、代数関数体との類似はうまく働かず、従ってミューが0になる事は前提とした研究が主となった。ラムダ不変量に関するグリーンバーグ予想(kが総実であればラムダは0であるという予想)については研究代表者の主催するゼミにおいて取上げて研究し、大学院生がグリーンバーグ予想の言い換え(同値な条件で検証し易いと思われるもの)や予想成立の十分条件を得て論文にまとめた。もう一つ研究テーマに挙げておいた、kが虚2次体の場合(もっと一般にkが総虚、特にCM型の場合に同様な事ができる)には、そのラムダ不変量は具体的に計算できる(ラムダのマイナスパート)。虚2次体kを固定し、素数Pを動かした時、Zp拡大(円分Zp拡大とする)のラムダ不変量がPと共にどう変化するかを研究するのが大きな問題であった。その場合に、ラムダ不変量が代数関数体の種数に類似しているとするなら、ラムダ不変量はほとんどすべてのPについて同一の値を取ると期待される(代数関数体のいろいろなPに関する法Pでのリダクションの種数は“良い"Pについてはすべて一定)のである。しかし虚2次体に関する実験の結果は、ラムダはほとんどすべてのPについて1以下であり、直接的な種数との類似は成立していないと推測されるものであった。今後、ラムダ不変量が代数関数体のどんな量と類似関係にあるのかを追及する事で、kに対する整数論を研究していきたいと考えている。

研究計画にも述べた様に、代数体kのZp拡大(Pはある素数)のラムダ不変量及びミュー不変量を、kと代数関数体との類似を意識しながら研究した。但し、ミュー不変量については、それが0に等しくないと、代数関数体との類似はうまく働かず、従ってミューが0になる事は前提とした研究が主となった。ラムダ不変量に関するグリーンバーグ予想(kが総実であればラムダは0であるという予想)については研究代表者の主催するゼミにおいて取上げて研究し、大学院生がグリーンバーグ予想の言い換え(同値な条件で検証し易いと思われるもの)や予想成立の十分条件を得て論文にまとめた。もう一つ研究テーマに挙げておいた、kが虚2次体の場合(もっと一般にkが総虚、特にCM型の場合に同様な事ができる)には、そのラムダ不変量は具体的に計算できる(ラムダのマイナスパート)。虚2次体kを固定し、素数Pを動かした時、Zp拡大(円分Zp拡大とする)のラムダ不変量がPと共にどう変化するかを研究するのが大きな問題であった。その場合に、ラムダ不変量が代数関数体の種数に類似しているとするなら、ラムダ不変量はほとんどすべてのPについて同一の値を取ると期待される(代数関数体のいろいろなPに関する法Pでのリダクションの種数は“良い"Pについてはすべて一定)のである。しかし虚2次体に関する実験の結果は、ラムダはほとんどすべてのPについて1以下であり、直接的な種数との類似は成立していないと推測されるものであった。今後、ラムダ不変量が代数関数体のどんな量と類似関係にあるのかを追及する事で、kに対する整数論を研究していきたいと考えている。