Iwasawa Theory, Euler Systems and Arithmetic Applications

岩泽理论、欧拉系统和算术应用

基本信息

  • 批准号:
    RGPIN-2020-04259
  • 负责人:
  • 金额:
    $ 2.7万
  • 依托单位:
  • 依托单位国家:
    加拿大
  • 项目类别:
    Discovery Grants Program - Individual
  • 财政年份:
    2022
  • 资助国家:
    加拿大
  • 起止时间:
    2022-01-01 至 2023-12-31
  • 项目状态:
    已结题

项目摘要

Elliptic curves are curves that can be defined using cubic equations. The study of these curves can be traced back to the ancient Greeks. Despite its simple definition, an elliptic curve possesses a very rich arithmetic structure, which enables us to define cryptosystems for encrypting electronic communications. They are now extensively used in financial transactions, especially those involving cryptocurrencies. It is therefore extremely important to have a good understanding of the arithmetic properties of these curves. In 1960's, Birch and Swinnerton-Dyer have formulated a conjecture that describes how many points there can be on a given elliptic curve. It is one of the most important open problems in modern-day Number Theory. In 2000, it has been chosen as one of the seven Millennium Prize Problems by the Clay Mathematics Institute, who will award one million US dollars for a correct solution to the problem. Only some special cases of this problem have been solved. Attempts to tackle this conjecture have led to many advancements in the research of Mathematics in the last few years. Partial solutions to the BSD problem for various special cases have come from Iwasawa Theory, a technique pioneered by the Japanese mathematician Kenkichi Iwasawa in 1960's. The insight of Iwasawa was to study arithmetic objects "one prime number at a time". For example, instead of looking at a number as a whole, we look at how many times it is divisible by one chosen prime number. As the prime number varies, we deduce different informations about the original number. We can then "patch" all these informations together to study the original number. The advantage of this approach is that when we focus on one prime number, more "local" information is available. This technique, combined with the seminal work of Andrew Wiles on Fermat's Last Theorem in 1990's, which tells us that there is an intimate link between elliptic curves and modular forms, which are very special analytic functions, have brought tremendous progress towards the BSD problem in various specials cases. Another promising approach is the recent work of Bhargava (Fields medallist in 2014) using statistical method, which is utilised to study the validity of the BSD problem on average over a large family of elliptic curves. In this research program, we shall: - construct special objects (called Euler systems) to study new cases of the BSD problem using Iwasawa-theoretic techniques; - refine techniques and formulations of longstanding conjectures in Iwasawa Theory; - study asymptotic behaviours of arithmetic invariants defined for elliptic curves and other related mathematical objects; - use computational methods to study new cases of the BSD problem; - adopt Bhargava's techniques to study statistical phenomenons of Iwasawa-theoretic objects; - find new arithmetic applications of Iwasawa Theory.
椭圆曲线是可以使用三次方程定义的曲线。对这些曲线的研究可以追溯到古希腊人。尽管椭圆曲线的定义很简单,但它具有非常丰富的算术结构,这使我们能够定义用于加密电子通信的密码系统。它们现在广泛用于金融交易,特别是涉及加密货币的交易。因此,很好地理解这些曲线的算术性质是极其重要的。在20世纪60年代,Birch和Swinnerton-Dyer提出了一个关于椭圆曲线上可以有多少点的猜想。它是现代数论中最重要的开放问题之一。2000年,它被克莱数学研究所选为七个千年奖问题之一,谁将奖励一百万美元,为正确解决这个问题。这个问题只有一些特殊的情况得到了解决。在过去的几年里,解决这个猜想的尝试导致了数学研究的许多进步。对于各种特殊情况的BSD问题的部分解决方案来自岩泽理论,这是日本数学家岩泽贤吉在20世纪60年代开创的一种技术。岩泽的见解是研究算术对象“一个素数的时间”。例如,我们不是把一个数看作一个整体,而是看它能被一个选定的素数整除多少次。随着素数的变化,我们推出了关于原数的不同信息。然后,我们可以将所有这些信息“拼凑”在一起,以研究原始数字。这种方法的优点是,当我们关注一个素数时,可以获得更多的“局部”信息。这一技术与Andrew Wiles在20世纪90年代关于Fermat最后定理的开创性工作相结合,告诉我们椭圆曲线和模形式之间存在着密切的联系,这是非常特殊的解析函数,在各种特殊情况下,为BSD问题带来了巨大的进步。另一种有前途的方法是Bhargava(2014年菲尔兹奖获得者)最近使用统计方法的工作,该方法用于研究BSD问题在一个大型椭圆曲线族上的平均有效性。在本研究计划中,我们将:(称为欧拉系统)使用岩泽理论技术研究BSD问题的新情况; -完善岩泽理论中长期存在的理论的技术和公式; -研究为椭圆曲线和其他相关数学对象定义的算术不变量的渐近行为; -使用计算方法研究BSD问题的新情况;- 采用Bhargava的技术来研究岩泽理论对象的统计现象; -找到岩泽理论的新的算术应用。

项目成果

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