Study on the double variational principle for mean dimension of dynamical systems

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２０２２年度には，大まかには三つの成果が得られた．以下順番に説明する．（１）平均次元に関する基本的な問題として，「古典次元論で知られていたフレヴィッツの定理という主張の類似が平均次元に対して成立するか？」というものがあった．この問題は１０年以上前に私自身が提案したものである．今年度，この問題を完全に解決することができた．答えは「一般にはフレヴィッツの定理の類似は平均次元に対して不成立だが，ベースの力学系がゼロ平均次元なら，成立する」というものであった．この成果はすでに論文にまとめて，学術誌に投稿中である．（２）本研究課題は平均次元に対する変分原理の発展に関するものであるが，その重要な側面として，幾何学的測度論のアイデアを平均次元理論と融合するというものがある．その方向性の研究として，古典的なフラクタル幾何学で知られている定理の平均次元理論版を構成するという研究を行った．例えば，フルステンベルグによる円周内の等質フラクタルに関する定理の平均次元理論版を証明した．この研究についても，すでに論文にまとめて，学術誌に投稿中である．（３）上記の（１）の研究によってフレヴィッツの定理の類似が平均次元に対して，そのままでは成立しないことが分かった．この状況は興味深いことではあるが，一方で大きな困難を感じさせるものでもある．そこで，困難を克服するために，「ウエスト不等式」という新しい視点からこの問題に取り組んだ．グロモフやクラ―タッグによって発展させられてきたウエスト不等式の理論を平均次元理論に応用した．これよって，リンデンシュトラウスとヴァイスによって証明された有名な定理を本質的に改良する成果を得た．この成果も論文にまとめて，学術誌に投稿中である．