ホッジ理論と数論的類似

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ホッジ理論およびその1進表現の観点からの超幾何関数あるいは超幾何微分方程式を研究を課題としてきた。ゲルファント=ゼレビンスキー=カプラノフ型超幾何関数のなす空間にはいるホッジ数がツイストされたエールハルト多項式により表せること、それからえられる行列式のホッジ数がベルンシュタインの定理のある一般化を与えることなどが昨年から分かってきていたが、さらにゲルファント達の論文に出てくるケーリ-消去法がある代数的対応から来ることがわかった。これは積分表示の段階では、ラドン変換といわれるもので、これに代数的対応を付与するには、フェルマ-超曲面の族を構成する事によって得られることがわかった。この代数的対応はどのコホモロジーにも使える普遍的な方法であるので色々な応用が期待されるがそれはこれからの課題である。さらに新しい方向として有限体上の超幾何関数によって対応する代数多様体の有理点の個数を表す原理が一般的にわかった。これはガウスの超幾何関数のときは超特異楕円曲線のかずを数えるときに使われるものの一般化であり、一般のゲルファント=カプラノフ=ゼレビンスキー型超幾何関数にも適用される。一つの応用として有限体上の超幾何関数の絶対値最小の代表元に対する個数の評価が応用考えられる。