代数幾何学的側面から見た超幾何関数の研究

点击翻译按钮获取中文摘要

1 テータ関数を使ったモジュライ空間の射影空間への埋め込みの構成。ドリーニュ=モストウにより分岐条件が与えられたときの射影直線の分岐被覆のモジュライが対称領域の開集合となるための一つの十分条件があたえられた。そのひとつの場合である8点で分岐する場合の周期領域のテータ埋め込みを構成した。これは4重被覆で与えられるが、中間の超楕円曲線の二重被覆のプリム多様体の特別な2分点におけるテータ指標の多項式で与えられる。8次の対称群が2元体上6次元の二次形式を保つ群として実現されるが、この群の作用を用いて、プリム多様体の商で主偏極をもつアーベル多様体の集合を対称的に扱うことが重要である。さらにこの作用をもって105個のテータ指標の多項式が構成され、これを使ったモジュラー埋め込みが複比を用いた多項式による埋め込みとなっていることが示される。2 アーベル多様体の代数的サイクルの変形理論による構成。円分体を虚数乗法として持つアーベル多様体がそのコホモロジーに関するある表現論的条件をみたすとき、因子類群では生成されないホッジサイクルがヴェイユにより構成された。このサイクルが代数的サイクルで生成されるかどうかは懸案である。このアーベル多様体がある曲線のヤコビアンの商として得られている場合を考えてみる。このヤコビアンの変形が与えられたとき、この曲線の被覆のある変形でそのヤコビアンが与えられたヤコビアンの変形を商としてもつとき、ヴェイユのホッジサイクルは代数的であることをしめした。いまのところ、一般的な状況でこのような曲線の被覆は知られていないが、曲線が楕円曲線であるときは必ず存在することがわかっている。3 極大退化曲線族に関する極限ホッジ構造とその算術的写像類群の周期への応用。ハイン氏との共同研究。極大曲線族の極限ホッジ構造をドリンフェルトアソシエーターにより表現することによりその周期が多重ゼータ値により記述される。マンフォードとショットキーによる構成法の比較により示した。さらにこれを写像類群及びその算術部分の研究に応用した。このとき相対完備化がモチーフ的であることを証明した。累次高次順像をつかうドリーニュ=ゴンチャロフの方法を相対完備化の時に用いた。