弱球等質空間上のアイゼンシュタイン級数

点击翻译按钮获取中文摘要

本年度の研究により、GL_n(の直積)の弱球等質空間のアイゼンシュタイン級数については、(若干の条件はつくものの)関数等式・解析接続の証明は完成した。証明のポイントは、アイゼンシュタイン級数を概均質ベクトル空間(p.v.)のゼータ関数を用いて表示することである。この点を逆用して、アイゼンシュタイン級数に関する知見をp.v.のゼータ関数に対して応用することができるようになった。具体例は、Spin_<10>×GL_3の48次元表現で与えられるp.v.のゼータ関数の関数等式の計算である。これは従来きわめて複雑な計算と考えられていたが、関連する弱球等質空間の構造を調べることにより、二次形式のゼータ関数の関数等式の組み合わせに帰着することを明らかにした。具体的な計算の実行も、最終段階にある。以上の結果をGL_nと異なる群の作用する場合に拡張することが問題であるが、この方向についても端緒的な結果を得た。方針は、Langlandsのアイゼンシュタイン級数の周期積分(これは一般には発散積分だが)の正則化を我々の意味でのアイゼンシュタイン級数に結びつけ、その性質をLanglandsのアイゼンシュタイン級数の性質、および、球関数の性質に帰着させるというものであるが、いくつかの次元の低い空間においてはこの方針が実行できることが分かった。以上に関連して、分担者は以下のような研究を行った。ランクの高い空間の球函数の微分方程式系(ホロノミー系)の研究(落合)、Riemann・Epsteinのゼータ関数の零点分布の研究(藤井)など。