等質空間上のゼ-タ関数の研究

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等質空間上の有理点集合の完備化とその上の不変測度の理論を構成し、オイラ-積を持たないゼ-タ関数に対しても、岩沢-Tate理論に類似の(局所コンパクト空間上の)積分としての表示が与えられることを示した。副産物として、Siegel流の基本領域の体積として不定方程式の解集合の測度を定義する方法が、実際に測度論として理解できるようになった。概均質ベクトル空間に付随する保型形式係数ゼ-タ関数については、積分表示の存在の根拠が、ある種の等質空間の上の一般化された球関数の空間の有限次元性にあることが明らかになった。典型的なケ-スとしては、コンパクト等質空間、又は、reductive対称空間と関連する概均質ベクトル空間がある。このうち、前者のコンパクト型に対しては、ゼ-タ関数の関数等式が示された。後者の対称空間型の場合は、現在、進行中であるが、対称空間上のPoisson変換の理論を用いることにより関数等式を証明できる見通しである。又、コンパクト型の場合の関数等式の具体的な記述にとって、群の多項式環への作用を既約表現に分決することが重要である。この研究の応用として、群の既約表現を包合的自己同型による固定点のなす部分群に制限したときの重複度が、一種の安定性を満足していることが証明できた。安定した重複度の具体的計算にも、概均質ベクトル空間の理論が有効であるケ-スが見つかった。