幾何学的トポロジーと位相力学系の研究

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パイこね変換と密接に関係する重要な概念に拡大性というものがある。拡大性の研究に連続体論を使うという方法論は研究代表者によるが、この点が本研究の他にない特色である。研究代表者は、パイこね変換の更に適した数学的概念として連続体的拡大性を定義し、その基礎的な結果を得た。特に、(連続体的)拡大性とindecomposabilityとの関係を数学的に初めて発見したが、現在その性質は本研究のカオス連続体の研究を通じて明らかにされつつある。カオス連続体は、安定または不安定集合の幾何学的構造によって、そのカオス性を的確に表す空間であり、連結で交わらない(不)安定集合が非加算個存在し、各々がカオス連続体で稠密になっているというまさに驚くべき複雑な構造をしている。本研究では、1950年代より未解決となっている平面内の力学系に関するR.F.Williamsの有名な問題「平面を分割しない連続体に拡大同相写像は存在するか?」という長年の問題を取り扱った。Chainable連続体に関する同様の問題は、研究代表者によってすでに解決されていたが、本研究では、平面を2つに分割する連続体Xの場合が研究された。その典型的なものは、circle-likeなものであるが、それに関して次の定理を得た:Xがcircle-likeで平面の連続体で拡大同相写像を許容するならば、Xはindecomposableでなければならない。また、平面内の連続体的拡大同相写像を許容する空間はindecomposable連続体をカオス連続体として含み、そのcomposantsが(不)安定集合と一致することを証明した。また、2次元閉多様体でholesを持つもので拡大同相写像を持つものを分類した。現在、上述のWilliamsの問題に完全な解答を与えるために、general topology,幾何学的トポロジー、力学系を専門とする研究分担者との共同研究を継続中であり、新たな研究方法を模索中である。