カオス力学系に出現する不変集合の複雑性の研究

本研究は、位相力学系・幾何学的トポロジーの主な研究対象であるコンパクト距離空間・可分距離空間とその上の連続写像の位相力学的・幾何学的性質を研究対象とする。位相空間論・幾何学的トポロジーと位相力学系理論およびエルゴート理論を駆使して総合的に研究していく。特に、複雑な不変集合の幾何構造と力学的構造の解明を研究のメインテーマとするが、そうした複雑なコンパクト距離空間の幾何構造・力学的構造はたいへん興味深い研究対象である。本研究の研究実績として以下の結果を得ている：正のエントロピーをもつ同相写像を許容するグラフ・ライクな連続体は、分解不可能な連続体を含む。さらに正のエントロピーをもつ同相写像を許容するグラフ・ライクな連続体について、カオス構造定理（幾何学的構造と力学的構造を同時に表示する定理)を得た。この定理は幾何的な構造と力学的な構造の複雑さが見事に調和した定理である。さらに、力学系をカントール集合上の力学系で表示する、いわゆるゼロ次元表示についても研究成果を得ている。また、データサイエンスに関して、データ解析、時系列解析から両側力学系を再構成できるという有名な多様体上のTakensの埋込み定理が知られているが、我々は2021－2023年の研究で、Takensの定理をより一般的な空間と連続写像にまで拡張できることを発見した。Takensの定理は実験から数学モデルの再構成可能を保証する実験科学における貴重な定理であるが、多様体上の滑らかな両側力学系（可逆的な）に限られる。我々の定理は、より複雑な空間の力学系にも応用でき、かつ非可逆的な連続写像による力学系にも通用する拡張定理である。この定理は、なんの制限もない片側力学系を解明するには、時系列解析の遅延座標によるある種の埋込みが鍵になることを理論的・数学的に証明した定理である。さらにこの定理を拡張した多変量時系列に関する埋め込み定理を得ている。

本研究は、位相力学系・幾何学的トポロジーの主な研究対象であるコンパクト距離空間・可分距離空間とその上の連続写像の位相力学的・幾何学的性質を研究対象とする。位相空間論・幾何学的トポロジーと位相力学系理論およびエルゴート理論を駆使して総合的に研究していく。特に、複雑な不変集合の幾何構造と力学的構造の解明を研究のメインテーマとするが、そうした複雑なコンパクト距離空間の幾何構造・力学的構造はたいへん興味深い研究対象である。本研究の研究実績として以下の結果を得ている：正のエントロピーをもつ同相写像を許容するグラフ・ライクな連続体は、分解不可能な連続体を含む。さらに正のエントロピーをもつ同相写像を許容するグラフ・ライクな連続体について、カオス構造定理（幾何学的構造と力学的構造を同時に表示する定理)を得た。この定理は幾何的な構造と力学的な構造の複雑さが見事に調和した定理である。さらに、力学系をカントール集合上の力学系で表示する、いわゆるゼロ次元表示についても研究成果を得ている。また、データサイエンスに関して、データ解析、時系列解析から両側力学系を再構成できるという有名な多様体上のTakensの埋込み定理が知られているが、我々は2021－2023年の研究で、Takensの定理をより一般的な空間と連続写像にまで拡張できることを発見した。Takensの定理は実験から数学モデルの再構成可能を保証する実験科学における貴重な定理であるが、多様体上の滑らかな両側力学系（可逆的な）に限られる。我々の定理は、より複雑な空間の力学系にも応用でき、かつ非可逆的な連続写像による力学系にも通用する拡張定理である。この定理は、なんの制限もない片側力学系を解明するには、時系列解析の遅延座標によるある種の埋込みが鍵になることを理論的・数学的に証明した定理である。さらにこの定理を拡張した多変量時系列に関する埋め込み定理を得ている。