幾何学的函数論への対称化法の応用

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3次元ユークリッド空間内にはめ込まれたコンパクト曲面Sが平均曲率一定であることは、体積と境界を保つSの任意の変分に対してSが面積汎関数の臨界点であることと同値である。ここで、はめ込まれたコンパクト曲面Sの体積とは、Sが境界のない埋め込まれた曲面である場合にはSが囲む領域の体積と一致し、Sが境界を持つ場合や自己交差を持つ場合には上の意味の体積の自然な拡張になっている。さて今、二つの平行な平面P_1とP_2が与えられたとする。これらで囲まれる閉領域内にあるはめ込まれたコンパクト曲面(境界はP_1∪P_2上にあるものとする。)であって与えられた体積を持つもの全体の中で面積を最小(あるいは極小)にせよ、という変分問題を考える。本研究ではこの変分問題の面積最小曲面が存在すること、さらにそれは円柱または半球面であることを証明した。円柱となるか半球面となるかは与えられた二平面間の距離と与えられた体積との比に依る。上記の平均曲率一定曲面の特徴付けにより、この変分問題は、平均曲率一定曲面に対する自由境界問題となっている。一般に、境界を持つ曲面について、固定境界であれ自由境界であれ、体積一定の曲面全体の中での面積最小曲面の存在は、非常に特別な場合を除き知られていない。その意味で、本研究の結果は重要である。証明の概要は次のとおりである。SteinerおよびSchwarz対称化法のはめ込まれた曲面に対する一般化を用いることにより、回転面ばかりから成る面積最小列を構成することができる。体積一定の条件からこの最小列は有界であることが証明され、このことを用いてこの最小列が収束部分列を含むことが示される。再びSteiner対称化法を用いることにより、面積最小曲面は自己交差を持たない回転面であることが示されるが、平均曲率一定の回転面はすべて具体的にわかっており、これらの安定性を調べることにより、この曲面は円柱または半球面であることが示される。