平均曲率一定曲面の安定性と一意性に関する研究

点击翻译按钮获取中文摘要

3次元ユークリッド空間内のコンパクトな平均曲率一定曲率の安定性と一意性についていくつかの新しい結果を得た.以下,議論はすべて3次元ユークリッド空間におけるものとし,平均曲率一定曲面をH曲面と呼ぶ.まず初めに,H曲面について,もしもそれが安定ならば自己交差をもたないということを証明した.ただしここで,H曲面の安定性の定義として次のものを採用する.まず,コンパクトかつ境界をもつH曲面Mについては,Mの境界と体積を保つ任意の変分(ただし曲面の位相型が変わってもよい)に対してMが面積の極小値を与えるとき,Mは安定であると定義する.また,一般のH曲面M_0については,M_0が安定であるとは,M≪M_0なる任意のコンパクトかつ境界をもつH曲面Mが安定であるときをいう.証明の方法は,曲面が自己交差をもつと仮定して,自己交差点のひとつの近傍で,境界と体積を保ちながら面積を減少させるような(一般には位相型を変えてしまうような)変分を構成するというものである.この結果とAlexandrovの鏡像法を用いることにより,H曲面の一意性関して次の結果が得られた.1.円周で張られるコンパクトH曲面Mが安定であって,境界の近傍では境界円周を含む平面と交わらないならば,Mは球帽である.2.二つの平行な平面のあいだにあるコンパクトなはめ込まれた曲面であって,与えられた体積をもつもの全体の中で面積極小のもの(このとき考えている曲面は安定H曲面となる)は,半球面,直円柱,または,球面である.