ホワイトノイズによる量子確率解析とその応用

1.作用素論の精密化 積分核作用素はフォック空間(ホワイトノイズ超関数の空間)上の作用素論において最も基本的なものである。従来の議論では、積分核はスカラー値超関数のみを扱っていたが、これを作用素値超関数も扱えるように拡張し、フビニ型の定理を証明した。また、積分核作用素における部分積分を定式化して証明した。これらの成果は、各点毎の生成・消滅作用素が滑らかな作用素流をなすというホワイトノイズ解析の特徴を反映したものである。2.量子確率過程の表現 まず、量子確率積分を超関数を用いて議論し、従来の伊藤型量子確率積分を著しく一般化した。さらに、フォック空間上の作用素を展開定理を応用して、任意の量子確率過程が生成過程・消滅過程の量子確率積分で与えられることを示した。これは、従来の伊藤型の理論に新しい発展の方向を与えるものである。この結果の応用として、量子適合過程や量子マルチンゲ-ルの表現を得た。物理への応用として、散逸量子系に典型的に現れる量子ランジュヴァン方程式をホワイトノイズ超関数の立場から議論した。3.無限次元調和解析 フォック空間上の作用素論は、ガウス空間上の調和解析に一つの方向を打ち出している。作用素の展開定理の応用として、ホワイトノイズ関数上の(代数的)微分をすべて決定した。また、ある種の無限次元ラプラシアンを含む低次元リー環をすべて決定し、無限次元コ-シ-問題への応用を研究した。さらに、ベクトル場の作る無限次元リー環のフォック表現と量子ポワソン・ホワイトノイズの関連を明らかにした。

1.作用素論の精密化 積分核作用素はフォック空間(ホワイトノイズ超関数の空間)上の作用素論において最も基本的なものである。従来の議論では、積分核はスカラー値超関数のみを扱っていたが、これを作用素値超関数も扱えるように拡張し、フビニ型の定理を証明した。また、積分核作用素における部分積分を定式化して証明した。これらの成果は、各点毎の生成・消滅作用素が滑らかな作用素流をなすというホワイトノイズ解析の特徴を反映したものである。2.量子確率過程の表現 まず、量子確率積分を超関数を用いて議論し、従来の伊藤型量子確率積分を著しく一般化した。さらに、フォック空間上の作用素を展開定理を応用して、任意の量子確率過程が生成過程・消滅過程の量子確率積分で与えられることを示した。これは、従来の伊藤型の理論に新しい発展の方向を与えるものである。この結果の応用として、量子適合過程や量子マルチンゲ-ルの表現を得た。物理への応用として、散逸量子系に典型的に現れる量子ランジュヴァン方程式をホワイトノイズ超関数の立場から議論した。3.無限次元調和解析 フォック空間上の作用素論は、ガウス空間上の調和解析に一つの方向を打ち出している。作用素の展開定理の応用として、ホワイトノイズ関数上の(代数的)微分をすべて決定した。また、ある種の無限次元ラプラシアンを含む低次元リー環をすべて決定し、無限次元コ-シ-問題への応用を研究した。さらに、ベクトル場の作る無限次元リー環のフォック表現と量子ポワソン・ホワイトノイズの関連を明らかにした。