代数的確率論における組合せ数学

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代数的確率論の研究動向を踏まえながら、主に以下の4項目について研究した。研究成果は、本学で開催した「第2回仙台ワークショップ:量子確率と量子情報」、ハンガリーで開催された国際会議「フォンノイマン生誕100年記念会議」などで口頭発表し、また、論文によって公表した。1 フェルミ合成積とブール合成積。モーメント・キュミュラント公式から示唆される組合せ論的構造に着目して、そのような公式と自然な合成積が両立するための条件を求めた。結果として、ブール合成積とフェルミ合成積の特徴づけを得た。2 変形ポアソン分布と変形ガウス分布の関係。ガウス分布の1径数変形(たとえばq-変形)とポアソン分布の1径数変形を相互に変換させあう公式について継続研究し、合成積に共通する性質を組合せ論的観点から導いた。さらに、直交多項式やモーメント問題に関する古典的な結果との関連で研究を継続させている。3 有限グラフの隣接作用素。代数的確率論における相互作用フォック空間の手法を応用し、有限グラフの隣接作用素のスペクトル問題にアプローチするため、予備的考察としていくつかの具体例を計算した。特に、スペクトルの間隔分布についていくつかの例を計算した。4 量子カオスに関連する話題。多変数の三角多項式のゼロ点の分布に関する般的な結果を得た。特に、1変数の場合に、その間隔の分布の特徴を考察し、その最大間隔の評価を与えた。また、d次元トーラス上のラプラシアンのスペクトル分布の漸近的一様性を示した。この手法を(3)と関連付けることを目指して研究を継続している。