マルコフ過程の汎関数の分解とその応用

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マルコフ過程の汎関数の分解定理の一般化や精密化とそれらの応用を図るという目的に沿った申請書記述の研究計画・方法に従って研究を進めた結果以下の研究実績を得ることが出来た。代表者福島は対称なマルコフ過程の加法的汎関数がマルチンゲ-ル部分とエネルギー零の部分の和に分解できるという定理(福島分解定理)が、推移確率が基礎の測度に絶対連続な場合に、容量零の除外集合を許さない形に精密化出来るための必要十分条件を与え、更にその際にエネルギー零の部分が有界変動になるための使いやすい判定条件を与えた。福島はこの一般論を応用し、滑らかでない境界を持つ領域上の反射壁拡散過程のスカラホ-ド分解が除外集合を許さない形で導いた。そしてカスプ境界点におけるヘルダー指数が1/2より大であればエネルギー零の部分が境界の局所時間により積分として表され有界変動となることを示し、またそれが1/2より大でなければ有界変動とならない例があることを最近のDeblassie-Tobyの研究と関連づけることによって明らかにした。これによってまた、反射壁拡散過程へのヂリクレ形式による接近とスカラホ-ド型の確率微分方程式による接近とは初めて同定することが出来た。福島分解の一般論は従来対称マルコフ過程に対応するヂリクレ形式の正則性の仮定の下で定式化されていたが、その仮定を外してもマルコフ過程が右連続ならば成立することが最近のMa-Rockner等の研究で明らかになっている。分担者の竹田は優マルチンゲ-ル乗法的汎関数によって変換された必ずしも正則ヂリクレ形式が対応しないマルコフ過程の再帰性をこの一般化された分解定理を適用して示すことに成功した。