可逆マルコフ過程の関数解析的研究

点击翻译按钮获取中文摘要

対称マルコフ過程の加法的汎関数の分解定理の精密化とその応用を図るという研究目的に沿った申請書の研究計画・方法に従って研究を進めた結果以下の研究業績を得ることが出来た。代表者福島は分担者竹田および熊本大学の大島教授と共に、共著の著書(1994年発刊)において上記分解定理のみならず、その局所的な場合への拡張及び推移確率が絶対連続な場合における精密化についての基礎理論を展開している。特に精密化に関してはいくつかの十分条件が与えられているが、福島はこの一般論を徹底して進め、加法的汎関数u(X_t)-u(X_o)のマルチンゲ-ル部分M_tとエネルギー零の部分N_tとの和としてのstrictな分解が成立するための関数uに対する必要十分条件やN_tが有界変動になるためのuに対する必要十分条件を求めることに成功し、更にN_tのstrictな意味での台とuのスペクトルの関係を明らかにした。福島はこの一般論を山口大学の富崎教授と共同で応用して境界がヘルダー連続性しか持たないR^d上の領域に対し、ヘルダー指数がd/(d-1)より大きい時にはその領域上の反射壁ブラウン運動はスカラホ-ド分解を許容することを証明した。実はdの如何にかかわらずヘルダー指数が1/2より大きいときにこれは正しいという予想を持ち目下その証明に取り組んでいる。分担者竹田は上記共著の著書で展開された対称マルコフ過程の乗法的汎関数による変換とデイリクレ形式の変換の関係に関する基礎理論の発展に取り組んでいる。特に上述の加法的汎関数の分解定理の精密化を用いることによって優マルチンゲ-ル的な乗法的汎関数による変換論の精密化に成功している。また尾角は数理物理的な可解格子模型にたいして、稲垣、谷口、安芸は統計的モデルに対してそれぞれ汎関数の分解定理の有効性を示す研究を着実に進めた。