測度空間における拡散現象の大域解析

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本年度は，以下の１，２，３の研究を行った．１．測度空間上で，ディリクレ形式に対してグリーンの公式を定式化し，さらに，マルコフ過程の保存性と再帰性をグリーンの公式による特徴付けを行った．これらの性質は空間の無限遠の大きさと密接な関係があることが知られている．そこで，本研究では，無限遠が小さければ，ある関数のクラスに対してはグリーンの公式の境界項が消えると考え，保存性と再帰性に対応する，それぞれの関数のクラスを完全に決定した．さらに，これらの関数のクラスを多様体，グラフ，量子グラフの場合に詳しく調べた．本研究は，D. Lenz（イエナ・ドイツ）との共同研究であり，現在執筆中である．２．測度空間の作用素の拡張の問題を，特に重要な例である，離散シュレディンガー作用素に対して調べた．とりわけ，Colin de Verdiereらによる最近の重要な結果を拡張した．また，離散シュレディンガー作用素の基底状態変換公式を一般の局所有限な無限グラフに拡張し，両方の符号を持つポテンシャルを持つ離散シュレディンガー作用素の正定値性を得た．３．境界付きコンパクト・リーマン多様体上で定義された，ドリフトとポテンシャルを持つ二階の微分作用素の解の挙動を調べた．解の一意性と正則性を示し，さらに，正定値性とマルコフ性が成立する為のポテンシャルおよび第三種境界条件を特徴付けた．本研究は，M. Bordoni（ローマ・イタリア）とS. Gallot（グレノーブル・フランス）の共同研究であり，現在執筆中である．