接触構造とトウィスター理論の応用

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3,4次元微分可能多様体の位相幾何学の研究において,トウィスター理論は,その構造の解明に大きく役立った。一方,Lieによる球面幾何は,超球全体のなす空間の直線を直線にうつす1次変換と,球の単位接球束の接触変換を対応させて,微分方程式の解法に大きな手段を与えたものである。研究代表者は,低い次元では,Lieによる変換の対応がトウィスター理論と同一であることを発見し,一般元で接触構造の上部構造としての,Lie接触構造を定義することができた。この構造には,自然にCartan接続が構成され,同値問題を解くことが出来る。Lie接触構造の年型的な例として,共形多様体の単位接球束があげられる。共形多様体には古典的な共形接続が存在しているが,この場合のCartan接続は共形接続から自然な手段で構成されるものに等しいだろうという予想を,複雑な計算により示すことが出来た。したがって,この場合のLie接触構造のWeyl曲率も,共形曲率より求められることとなる。一般のLie接触多様体のなかで単位接球束を特徴づけることが次の問題である。ファィバーが球面であるLegendreファィブレイションの構造をもつことが必要条件であるが,さらに,ファィバーの球面が定曲率であることなど,さらに条件が必要である。従って,一般のLie接触多様体は単位接球束よりはるかに広いカテゴリィであることが結論づけられる。一方,単位接球束のあいだのLie接触変換群はファィブレイションを保つ束写像群とほぼ等しいことが示される。これらの結果は今準備中の論文で発表する予定である。これらの研究を共形多様体の構造であるいは低次元多様体の位相の研究に応用して行くことが今後の目標である。