アフィン・リー超代数の調和振動子表現と超双対

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1.Cartan型のLie代数W_nについてその自然表現(=調和振動子表現)のm階のtensor積を考える。このtensor積表現におけるW_nの可換子環の構造を研究し、m(〕 SY.ltoreq. 〔)nのときには具体的に決定することに成功した。実際この場合には可換子環は有限次元の半単純ではない環になり、その構造もm個の数字[m]={1,2,…,3}からそれ自身への写像全体をなす半群の群環である、と特徴づけることができる。さらにm>nの場合には可換子環が有限次元ではあるがこのような半群の群環では記述しきれない場合があることや、m(〕 SY.ltoreq. 〔)nの場合でもW_nの再可換子環が自分自身(の展開環)とは一致しないこと、など興味ある結果が得られた。これらの結果は論文にまとめて現在“Journal of Mathematics of Kyoto University"に投稿中である。さらにm>nの場合やLie超代数の場合などの研究を続行中である。2.シンプレクティックLie群Sp(2n;R)のユニタリ最高weight表現をFock空間上に多項式係数の微分作用素として実現する。このとき定数関数から生成されるような特異ユニタリ最高weight表現についてK-typeを具体的に求め、その指標を計算した。この結果自体は実は米国T.Enrightにより既に得られていることが判明したが、(1)指標の計算方法がまったく異なること、および、(2)計算課程がp_+-homologyのsymplectic群Sp(2(n-1);R)への制限を記述することからそれ自身面白い結果である。この結果は「日本学術振興会・シンガポール国際大学合同セミナー」において発表した。