Orbits on flag varieties and their combinatorics

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本課題では旗多様体やその直積である多重旗多様体 X への群作用が主要な研究対象である．研究目標は，旗多様体への群作用の基本的な性質を明らかにし，それを用いた組合せ論や幾何学，そして表現論へ応用することである．ここで言う「基本的な性質」とは群作用による軌道の不変量を用いた分類，そして，それらの不変量を元にした軌道の次元や閉包関係，同変（コ）ホモロジー環の構造などの多岐にわたる性質を指す．とくに不変式論との関係，組合せ論との互恵的な関係を重視している．最終的目標は実リー群の表現や量子群の表現論への発展的な応用であるが，こちらは将来の課題である．今年度の成果として，共同研究者の L.Fresse (Univ. Lorraine, IECL) と共に，AIII 型対称空間に付隨する二重旗多様体 X = K/B_K x G/P 上の球部分群 K による軌道のグラフを用いた組合せ論的記述，軌道の次元や閉包関係，ヘッケ加群の構造などが完全に明らかになったことが挙げられる．また，2種類の Steinberg 写像とシュプリンガーファイバーの構造もヤング盤を用いた組合せ論的な記述によって明らかになった．一方で，この結果は AIII 型の特殊な状況をうまく使っており，他の型に拡張するのは難しい．そこで，Fresse 教授とともに，(1) 他の古典型の二重旗多様体を AIII 型に埋め込むことによって，既に得られた結果を応用することを研究中である．(2) ルート系やワイル群などの一般的な概念を用いた軌道の記述ができないかと模索中である．(3) 本間大幹氏（九州大学）による箙の表現を用いた軌道の分類理論が発表され，箙による軌道の不変量などの研究を進めている．こちらは，本研究課題期間中になんらかの形で発表したいと考えている．