積分可能系の量子化

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積分可能系の量子化に関する以下の研究を行った.1)Euler-Poisson-Darboux(EPD)方程式のq-差分化:EPD方程式は曲面論や波の衝突において現れる基本的な方程式であると共に完全積分可能系である戸田分子方程式と密接な関係を持つ点で興味深い対象である.この研究ではEPD方程式の持つ良い性質である、Laplace列、Lie環 sl(2,C)の対称性、戸田分子方程式との関係などを保つq-差分方程式を構成した.特にこのq-差分EPD方程式の対称性として現われるq-差分作用素は量子群U_q(sl(2,C))であり、量子群の差分作用素による表現が得られたことになる.この事実はLie群の無限小変換がベクトル場であることに対応する.また、EPD方程式はLaplace列の特別な場合であるが、この研究により一般のLaplace列と戸田分子方程式との関係のq-差分化が得られq-差分戸田分子方程式の良い定義に到達した.2)Drinfeld-Sokolov理論の量子化:KdV方程式に代表される完全積分可能系をLie環論的に取り扱ったDrinfeld-Sokolov理論を量子化する方法は現在symplectic reductionを用いる方法とW-代数からのアプローチが知られているが、この研究ではq-差分方程式の観点からの研究を進めてきた.この方法の基礎となるのはKdV方程式などと戸田方程式の関係である.1)で述べた戸田分子方程式はここで言う戸田方程式とは異なっているが、研究を進める上で重要な例となっている.現在は戸田方程式の差分化を試みている状態であるが、これに成功するとDrinfeld-Sokolov理論の量子化への一方法が得られることになる.以上が研究業績の概要である.