様々な体上の幾何学的ラングランズ予想

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様々な体上の幾何的ラングランズ予想について有限体上のラングランズ予想であるが、以前より研究を進めていたレフシェッツ跡公式に関するドリーニュの予想を一般の場合に完全に証明した。この予想は正標数における特異点解消を仮定した場合には正しいことが知られていたが、この(現時点では証明されていない)仮定は不要である。この結果として、ドリンフェルト加群を使ったガロア表現の構成においてドリンフェルトモジュライ空間に対するコンパクト化の理論を避けることができ、またコンパクト化の境界に沿って分岐が激しい係数層を許す場合に構成法を拡張することができる。ロ-モンやフリッカー、カズダンによる関数体の場合の調和解析の結果とあわせ、一点での分岐がスタインバーグまたは超尖点的表現になる場合には保型表現からガロア表現がつくれることが解った。ドリンフェルト加群のモジュライを使う場合には不分岐表現は取り扱えないため、これは現在のところ一般線形群のラングランズ予想に対する最良の結果である。ドリーニュの予想自身はより一般的な縮小写像にたいする跡公式を確立する事によって証明される。この結果についてはワークショップ等で報告したほか現在論文を投稿中である。複素数体の場合には、ベクトル束のモジュライ空間を使った定式化が存在しており、ヒッチンによるハミルトニアンの零点集合が重要な役割を果たす。これに対しモジュライ空間にアデ-ル群を作用させたときこの群作用によるモーメント射像からハミルトニアンが再構成できることを示した。