幾何学的ラングランズ予想の研究

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前年度に引き続きラングランヅ予想のの研究を行っている。有限体上の関数体の場合のラングランヅ予想については前年度報告したとおりかなりの進展があった。特に、Deligneの予想が解決された結果分岐を許す場合のタングタンヅ予想はかなり一般的に解決された。これについては1995年9月の日本数学会総合講演において報告を行った。さらに関数体の場合から範囲を広げ、代数体の場合の研究も開始した。代数体上の保型表現からガロア表現を構成できる事が知られている場合に、その逆を調べることが目標になる。最近のWiles,Taylor-Wilesの仕事によって有理数体上の準安定楕円曲線から生じるガロア表現が保型表現から生じることが証明された。この方法ではガロア表現の変形理論を考え、その普遍変形環が保型表現から生じるヘッケ環であることを示すのが本質的である。そこで、この普遍変形環とヘッケ環の関係を一般の総実代数体の場合に考察することとした。肥田の研究により、この場合のヘッケ環についても有理数体の場合と同様の結果が成立するが、可換環としてのGorenstein性がまだ知られていないため、Taylor-Wilesの方法を直接拡張できない。まず、彼らの議論で可換環論を使う部分を概念化、抽象化し、より一般の場合に適用可能にした。その一部分は1995年11月に城崎にて行われたworkshopで発表した。証明された結果によれば与えられたガロア表現がある種の極小性を持つ場合にはlevelを増大させるヘッケ環と、その表現の系列を構成すると普遍変形環はヘッケ環となる。その後総実代数体の場合はそのような系列がモヂュラー多様化により構成できることを示した。この結果は1996年2月に九州大学で行われたworkshopで報告した。