局所体のガロア表現の分岐の研究

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今年度は主に次の二つの成果を得た。(1)Fontaineによって最初に研究された、実数mとKの有限次Galois拡大Lに対するある条件(Pm)と呼ばれるものがある。昨年度までの結果として、Kの剰余体が完全であるとき、拡大L/Kに対して、条件(Pm)が成立する実数mの下限とL/Kの最大上付き分岐跳躍数が一致することが分かっている。この結果は、振れp進Galois表現の分岐の評価に応用がある。剰余体が完全とは限らない場合でもAbbes-Saitoによるrigid幾何を用いた分岐理論があり、同様の問題を考えることが出来る。今年度は、「L/Kの整数環の各生成元がKの整数環上整閉な加群を生成する」場合に結果を拡張することが出来た。解決の方法として、(Pm)の不分岐基底変換に関する性質と狸猛分岐の消去を用いた。これらの拡大は、下付き分岐と上付き分岐が異なるフィルトレーションを持つようなものも含まれており、一般のGalois拡大に対しても同様に拡張されることが期待される。(2)Kの剰余体が有限体の場合、次数を固定する(正標数の場合は共役差積も固定する)と拡大の個数は有限個であり、Krasnerによってその個数が計算された。同型類の個数については、Mongeによって個数計算の公式が与えられている。Krasnerの公式は、数式処理システムMagmaに既に実装されているが、Mongeの公式についてはまだ実装されていない。Mongeの公式は、基礎体に1の原始p冪乗根を添加した拡大の分岐指数及び剰余次数を計算する必要がある。今年度の結果として、より一般に、代数的元を添加した拡大の分岐指数及び剰余次数を計算するアルゴリズムを与え、Mongeの公式をMagmaで実装することが出来た。また、Deligneの頂切付値環の理論を用いて、正標数の局所体の拡大の生成や個数計算は全て、標数0の場合に帰着出来ることを証明し、Magmaで実装した。