ファインマン経路積分の表現論的研究

リー群のユニタリ表現はKostant-Kirillov理論によりリー群の随伴軌道上のシンプレクティック構造を用いて構成される。ハイゼンベルグ群の場合、リー環の元が自然に定める随伴軌道上のハミルトニアンをファイマン経路積分の方法により量子化するとリー群の表現の作用素の核関数が得られる。SL(2,R)の場合、同様に経路積分を計算しようとすると発散する。ファイマン経路積分を正規化することにより、コンパクトなCartan部分群を含む任意の連結な半単純リー群のBorel-Weil理論によって実現された既約ユニタリー表現の核関数が得られる。本研究では、この方法を拡張してアフィンカッツ・ムーディーリー環のbasic表現をファイマン経路積分によって得ることに成功した。最初に、アフィンリー環の無限次元ハイゼンベルグ部分群を考え、その随半軌道上の複素ホワイトノイズを使うことにより既約表現を経路積分によって構成した。次に、発散因子を掛けて経路積分を補正し計算することによりvertex operatorが得られることを示した。更に、アフィンLie環A^<(1)>_<n-1>のfundamental表現に対してもこの方法が適用できることを証明した。谷崎はaffine Lie algebrasの表現論的研究を行い、負の最高ウエイトを持つ表現の指標を計算した。菅野はコンパクトな1次元時空を運動する弦理論について、その分配関数が戸田方程式系により特徴付けられることを示した。以上の結果の場の量子論への応用については、現在研究を中である。

リー群のユニタリ表現はKostant-Kirillov理論によりリー群の随伴軌道上のシンプレクティック構造を用いて構成される。ハイゼンベルグ群の場合、リー環の元が自然に定める随伴軌道上のハミルトニアンをファイマン経路積分の方法により量子化するとリー群の表現の作用素の核関数が得られる。SL(2,R)の場合、同様に経路積分を計算しようとすると発散する。ファイマン経路積分を正規化することにより、コンパクトなCartan部分群を含む任意の連結な半単純リー群のBorel-Weil理論によって実現された既約ユニタリー表現の核関数が得られる。本研究では、この方法を拡張してアフィンカッツ・ムーディーリー環のbasic表現をファイマン経路積分によって得ることに成功した。最初に、アフィンリー環の無限次元ハイゼンベルグ部分群を考え、その随半軌道上の複素ホワイトノイズを使うことにより既約表現を経路積分によって構成した。次に、発散因子を掛けて経路積分を補正し計算することによりvertex operatorが得られることを示した。更に、アフィンLie環A^<(1)>_<n-1>のfundamental表現に対してもこの方法が適用できることを証明した。谷崎はaffine Lie algebrasの表現論的研究を行い、負の最高ウエイトを持つ表現の指標を計算した。菅野はコンパクトな1次元時空を運動する弦理論について、その分配関数が戸田方程式系により特徴付けられることを示した。以上の結果の場の量子論への応用については、現在研究を中である。