リ-群の表現論

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リ-群の表現論特にユニタリ表現論は、量子力学の基礎づけのため数理物理学者によって研究が始まったが、特にその既約表現の構成に関しては、キリロフ-コスタント理論がある。近年、弦理論に対しファイマン径路積分を用いて量子化することによりフィラソロリ-環やカッツム-ディ-リ-環等の無限次元のリ-環の表現論が現れることが示された。有限次元のリ-群に関してもアレクセイフ、ファディエフ、シャタシュシビリ等によりコンパクト群の既約表現が径路積分により得られることがわかった。我々は、それをさらに一般のリ一群に拡張する研究を行なった。平成2年8月に京都において世界数学者会議が行なわれ、その際ファイディエフ等と研究上の意見交換を行なったが、我々の結果が真に新しいことが確認された。さらに、平成2年10月にパリ第7大学及び12月にプリンストン研究所に滞在し、世界的な研究者との国際交流により実り多い成果が得られた。ユニタリ表現論はその手法がきわめて多様であり整数論(特に共形場の理論と保型関数論との関連)、微分方程式論(特にポテンシャル論やグリン関数との関連)等多くの分野と関係しており、それらの分野の研究も非常に重要である。参考文献のうち、小池氏の文献は、保型形式に付随する絶対ガロア群の表現を研究したものであり、宮川氏・前田氏の文献はいずれもポテンシャル論におけるエネルギ-とDirichlet積分、Green関数の研究を行なったものである。また松本氏の文献はK3曲面の上の対合はホモロジ-群も必ず動かすことを示したものである。以上の結果をさらに統合させるための研究は今後の課題として残されている。